방송대 방통대 선형대수 9강 - 기저와 차원 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 9강 - 기저와 차원

벡터의 일차결합과 생성 부분공간을 이해하고, 주어진 벡터들이 일차독립인지 일차종속인지 판별하는 방법을 학습한다. 이를 바탕으로 벡터공간의 기저와 차원을 정의하고, 행렬방정식·계수·행렬식·소행렬을 이용해 실제 문제를 해결한다.

제1장 일차결합과 생성 부분공간

좌표를 벡터의 결합으로 이해하기

수직선 위의 수 5는 기본이 되는 수 1의 5배인 5(1)로 볼 수 있다. 평면의 점 또는 벡터 (x, y)는 x(1, 0)+y(0, 1)로, 공간의 벡터 (x, y, z)는 x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1)로 나타낼 수 있다. 이처럼 몇 개의 벡터에 수를 곱한 뒤 더하여 새로운 벡터를 만드는 것이 일차결합의 기본 생각이다.

예를 들어 평면의 벡터 (-2, 3)은 기본단위벡터 e₁=(1, 0), e₂=(0, 1)을 이용하여 -2e₁+3e₂로 표현된다. 각 계수 -2와 3은 두 기본 방향을 어느 정도 사용했는지를 나타낸다.

일차결합의 정의

벡터공간 V의 벡터 A₁, A₂, …, A_n과 실수 k₁, k₂, …, k_n에 대하여

k₁A₁+k₂A₂+⋯+k_nA_n=∑_i=1ⁿk_iA_i

를 벡터 A₁, …, A_n의 일차결합이라고 한다.

일차결합에서 벡터는 정해져 있고 계수 k_i를 바꾸어 여러 결과를 만든다. 모든 계수를 0으로 정하면 영벡터도 얻을 수 있으므로, 일차결합 전체의 집합에는 항상 영벡터가 포함된다.

생성 부분공간과 생성원

A₁, …, A_n의 가능한 모든 일차결합을 모은 집합을 이 벡터들이 생성하는 부분공간이라고 한다. 이를

sp(A₁, …, A_n)={k₁A₁+⋯+k_nA_n | k₁, …, k_n∈R}

로 나타낸다. 이 집합은 벡터공간 V의 부분공간이며, 집합 {A₁, …, A_n}을 그 부분공간의 생성원이라고 한다. 예를 들어 R³의 기본단위벡터 e₁, e₂, e₃은 R³ 전체를 생성한다.

생성원에는 불필요한 벡터가 포함될 수 있다. 어떤 생성원이 다른 생성원들의 일차결합이라면 그 벡터를 빼도 생성되는 부분공간이 변하지 않는다. 이 중복을 제거한 최소한의 독립적 생성 방향이 기저와 연결된다.

일차결합 표현을 행렬방정식으로 바꾸기

Rⁿ의 벡터 C가 A₁, …, A_m의 일차결합으로 표현되는지 알아보려면

C=k₁A₁+⋯+k_mA_m

을 만족하는 계수들이 존재하는지 확인한다. 벡터 A₁, …, A_m을 열로 배열한 행렬을 A=[A₁ A₂ ⋯ A_m], 계수벡터를 K=(k₁, …, k_m)^T라 하면 이 식은 AK=C가 된다.

C가 A₁, …, A_m의 일차결합으로 표현될 필요충분조건은 AK=C의 해가 존재하는 것이다. 이는 rank(A)=rank(A|C)와 동치이다.

표현 가능성과 불가능성의 예

R³에서 A₁=(2, 3, 1), A₂=(1, 0, 5)라 하자. C=(4, 9, -7)에 대하여 성분을 비교하면 2k₁+k₂=4, 3k₁=9, k₁+5k₂=-7을 얻는다. 여기서 k₁=3, k₂=-2이므로

(4, 9, -7)=3(2, 3, 1)-2(1, 0, 5)

가 되어 표현 가능하다. 확대행렬을 행 기본연산해도 마지막 행이 모두 0이 되어 같은 결론을 얻는다.

반면 C=(4, 9, 2)로 바꾸면 소거 결과 마지막 행에 [0 0 | 9]가 나타난다. 이는 0=9라는 모순이므로 AK=C의 해가 없다. 따라서 (4, 9, 2)는 두 벡터 (2, 3, 1), (1, 0, 5)의 일차결합으로 표현할 수 없다.

제2장 벡터들의 일차독립성과 일차종속성

독립과 종속의 기하학적 의미

한 벡터가 이미 다른 벡터들이 만드는 방향 안에 있다면 그 벡터는 새로운 방향을 보태지 못한다. 예를 들어 같은 직선 위에서 한 벡터가 다른 벡터의 배수라면 두 벡터는 중복된 방향을 나타낸다. 공간에서도 두 벡터가 만드는 평면 안에 세 번째 벡터가 놓이면 세 번째 벡터는 앞의 두 벡터의 일차결합으로 표현된다.

반대로 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 없다면 각 벡터는 새로운 독립적 방향을 제공한다. 이를 정확히 판별하기 위해 일차결합의 결과를 영벡터로 놓는다.

일차독립과 일차종속의 정의

벡터 집합 α={A₁, …, A_n}에 대하여

k₁A₁+⋯+k_nA_n=O

를 생각한다. 이 식을 만족하는 계수가 k₁=⋯=k_n=0뿐이면 α는 일차독립이다. 모든 계수가 0인 해를 자명해라고 한다. 반대로 적어도 하나의 계수가 0이 아닌 해, 즉 비자명해가 존재하면 α는 일차종속이다.

구분	동차 일차결합	다른 벡터로의 표현
일차독립	자명해만 존재한다.	어느 벡터도 나머지 벡터들의 일차결합으로 표현되지 않는다.
일차종속	비자명해가 존재한다.	적어도 한 벡터를 나머지 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있다.

예를 들어 (1, 2), (3, 6)은 -3(1, 2)+1(3, 6)=(0, 0)이라는 비자명한 관계가 있으므로 일차종속이다. 두 번째 벡터가 첫 번째 벡터의 3배라는 사실로도 바로 알 수 있다. 반면 (2, 0), (0, -2)에 대해 2k₁=0, -2k₂=0이므로 두 계수는 모두 0이어야 하며 두 벡터는 일차독립이다.

Rⁿ에서 n개 벡터를 행렬식으로 판별하기

Rⁿ의 벡터 A₁, …, A_n을 열로 배열하면 n×n 정방행렬 A를 얻는다. 동차방정식 AK=O가 자명해만 가질 조건은 det(A)≠0이다. 따라서 열벡터 행렬의 행렬식이 0이 아니면 일차독립이고, 0이면 일차종속이다.

R²의 (1, 2), (3, 6)을 열로 둔 행렬식은 1·6-3·2=0이므로 종속이다. (2, 0), (0, -2)의 행렬식은 -4이므로 독립이다.

R³에서 A=(1, 2, 3), B=(-1, 0, 0), C=(6, 4, x)를 열로 둔 행렬식은 2x-12이다. 따라서 세 벡터가 일차독립일 조건은 x≠6이고, x=6이면 일차종속이다.

벡터 수와 차원이 다를 때의 판정

Rⁿ에 m개의 벡터가 있다고 하자. 벡터를 열로 배열하면 n×m 행렬이 된다. m과 n의 관계에 따라 판정 방법이 달라진다.

벡터 개수	일차독립 판정
m=n	열벡터로 만든 정방행렬의 행렬식이 0이 아니어야 한다.
m<n	n×m 행렬의 m×m 소행렬 중 행렬식이 0이 아닌 것이 하나 이상 있어야 한다.
m>n	벡터들은 항상 일차종속이다.

i×j 소행렬은 원래 행렬에서 i개의 행을 선택한 뒤 j개의 열을 선택하여 만든 행렬이다. R⁴의 두 벡터 (1, 2, 3, 4), (2, 4, 6, 1)을 열로 둔 4×2 행렬에서는 첫 두 행으로 만든 소행렬식은 0이지만, 세 번째와 네 번째 행으로 만든 2×2 소행렬식 3·1-6·4=-21은 0이 아니다. 따라서 두 벡터는 일차독립이다.

직사각 열행렬에서 일부 소행렬식이 0이라는 사실만으로 종속이라 결론 내릴 수 없다. 열의 수와 같은 차수의 소행렬식 중 하나라도 0이 아니면 독립이다.

같은 평면에 놓이는 조건

R³에서 원점을 지나는 하나의 평면 위에 세 벡터가 놓이면 세 번째 방향은 나머지 두 방향의 일차결합이므로 세 벡터는 일차종속이다. 따라서 세 벡터를 열로 만든 행렬식이 0이어야 한다.

A=(1, 1, 0), B=(2, -1, 1), C=(2, x, 1)이 같은 평면 위에 있을 조건을 구하면 열벡터 행렬식이 -1-x이므로 -1-x=0, 즉 x=-1이다.

제3장 벡터공간의 기저

기저의 두 조건

벡터공간 V의 영벡터가 아닌 벡터들로 이루어진 집합 α={A₁, …, A_n}가 다음 두 조건을 모두 만족할 때 α를 V의 기저라고 한다.

첫째, α의 벡터들은 일차독립이다. 둘째, V의 모든 벡터가 α의 벡터들의 일차결합으로 표현된다. 즉 V=sp(A₁, …, A_n)이다.

독립 조건은 서로 중복되는 벡터가 없다는 뜻이고, 생성 조건은 공간의 모든 방향을 빠짐없이 만들 수 있다는 뜻이다. 따라서 독립이지만 공간 전체를 생성하지 못하는 집합이나, 공간 전체를 생성하지만 불필요한 벡터를 포함해 종속인 집합은 기저가 아니다.

기본단위벡터와 표준기저

Rⁿ에서 한 성분만 1이고 나머지 성분이 모두 0인 벡터를 기본단위벡터라고 한다. 이를 e₁, e₂, …, e_n으로 나타낸다. 이 기본단위벡터들의 집합은 Rⁿ의 표준기저이다.

R³에서는 e₁=(1, 0, 0), e₂=(0, 1, 0), e₃=(0, 0, 1)이다. 이들을 열로 둔 행렬의 행렬식은 1이므로 독립이고, 임의의 벡터 (a, b, c)를 ae₁+be₂+ce₃로 표현할 수 있으므로 R³ 전체를 생성한다.

기저 판정의 실제 적용

R³의 기저는 정확히 3개의 독립적인 벡터로 구성된다. 예를 들어 {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}을 열로 둔 행렬의 행렬식은 -2로 0이 아니므로 이 집합은 R³의 기저이다.

반면 벡터가 2개뿐인 집합은 독립일 수 있어도 R³ 전체를 생성하지 못한다. 영벡터를 포함하는 집합은 자동으로 종속이다. 또한 4개 이상의 벡터를 가진 집합은 R³에서 반드시 종속이다. 정확히 3개를 가진 경우에도 행렬식이 0이면 한 벡터가 다른 벡터들의 일차결합이므로 기저가 아니다.

n차원 벡터공간에서 정확히 n개의 벡터를 검사할 때는 독립 또는 생성 중 하나만 확인해도 다른 하나가 따라온다. 그러나 이 성질은 벡터 개수가 공간의 차원과 정확히 같다는 전제가 필요하다.

제4장 벡터공간의 차원

차원의 정의

벡터공간 V의 기저를 구성하는 벡터의 개수는 어떤 기저를 선택하더라도 일정하다. 이 일정한 개수를 V의 차원이라고 하고 dim V로 나타낸다. 기저 자체는 여러 가지가 가능하지만 기저 벡터의 개수는 공간의 고유한 성질이다.

Rⁿ의 표준기저는 n개의 벡터로 이루어지므로 dim Rⁿ=n이다. 영벡터만 포함하는 영벡터공간 {O}의 차원은 0으로 정의한다.

부분공간의 차원

S가 벡터공간 V의 부분공간이면 dim S≤dim V가 성립한다. 부분공간 안에서 선택할 수 있는 독립적인 방향의 수는 전체 공간의 독립적인 방향 수를 넘을 수 없기 때문이다. 더 나아가 dim S=dim V이면 S=V이다.

매개변수 표현에서 기저와 차원 구하기

R³의 부분공간

S={(x+y, 0, x-y) | x, y∈R}

를 살펴보자. 임의의 원소는

(x+y, 0, x-y)=x(1, 0, 1)+y(1, 0, -1)

로 표현된다. 두 생성벡터 (1, 0, 1), (1, 0, -1)은 서로 배수가 아니므로 일차독립이다. 따라서 이 둘은 S의 기저이고 dim S=2이다.

비슷해 보이는

T={(x-y, 0, x-y) | x, y∈R}

에서는 t=x-y로 놓으면 모든 원소가 t(1, 0, 1)로 표현된다. 매개변수는 두 개지만 실제로 독립적으로 변하는 조합은 하나이므로 {(1, 0, 1)}이 기저이고 dim T=1이다.

매개변수의 개수를 그대로 차원으로 정하면 안 된다. 매개변수 표현을 벡터의 일차결합으로 바꾼 뒤, 생성벡터 중 일차독립인 벡터의 개수를 세어야 한다.

핵심 개념 정리

일차결합은 여러 벡터에 스칼라를 곱해 더한 것이다. 주어진 벡터들의 모든 일차결합은 이들이 생성하는 부분공간을 이루고, 원래 벡터 집합은 그 부분공간의 생성원이다. 목표 벡터 C의 표현 가능성은 AK=C의 해 존재 또는 rank(A)=rank(A|C)로 판정한다.

벡터 집합의 일차독립성은 동차식 AK=O가 자명해만 갖는지로 판정한다. Rⁿ에서 n개의 벡터는 열행렬의 행렬식이 0이 아닐 때 독립이고, n보다 적은 벡터는 열 수와 같은 차수의 소행렬식 중 0이 아닌 것이 있을 때 독립이다. n보다 많은 벡터는 항상 종속이다.

기저는 일차독립이면서 공간 전체를 생성하는 벡터 집합이다. 차원은 기저 벡터의 개수이고 dim Rⁿ=n이다. 부분공간의 차원은 전체 공간의 차원보다 크지 않으며, 두 차원이 같으면 부분공간은 전체 공간과 같다.

시험에서는 우변을 먼저 구분한다. 특정 벡터의 표현 가능성은 AK=C, 독립성은 AK=O를 다룬다. 기저를 판정할 때는 ‘독립’과 ‘전체 생성’을 모두 확인하고, 차원은 매개변수 수가 아니라 최종적으로 남는 독립 생성벡터의 수로 결정한다.

예상문제 20선

1. 벡터 A₁, …, A_n의 일차결합을 올바르게 나타낸 것은?

① 벡터들의 성분을 모두 곱한 것 ② k₁A₁+⋯+k_nA_n ③ 벡터들의 행렬식만 계산한 것 ④ 벡터 개수와 차원을 더한 것

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②
각 벡터에 스칼라 계수를 곱한 뒤 더한 형태를 일차결합이라고 한다.

2. sp(A₁, …, A_n)의 의미는?

① 주어진 벡터들의 교집합 ② 영벡터만으로 이루어진 집합 ③ 벡터들의 역원을 모은 집합 ④ 주어진 벡터들의 모든 일차결합으로 이루어진 부분공간

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④
span은 계수를 자유롭게 바꾸어 얻는 모든 일차결합의 집합이며 주어진 벡터들이 생성하는 부분공간이다.

3. 벡터 C가 행렬 A의 열벡터들의 일차결합으로 표현될 조건은?

① AK=C의 해가 존재한다. ② AK=O가 비자명해를 갖는다. ③ A가 반드시 영행렬이다. ④ C의 모든 성분이 0이 아니다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①
계수벡터 K가 존재하여 AK=C를 만족한다는 것이 바로 일차결합 표현 가능성이다.

4. rank(A)≠rank(A|C)일 때 옳은 결론은?

① C의 표현이 항상 유일하다. ② 모든 계수가 1이다. ③ C를 A의 열벡터들의 일차결합으로 표현할 수 없다. ④ 열벡터들이 반드시 표준기저이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③
계수행렬과 확대행렬의 계수가 다르면 AK=C가 불일치하여 해가 없다.

5. 강의의 예에서 (4, 9, -7)의 올바른 일차결합 표현은?

① 2(2, 3, 1)+(1, 0, 5) ② -2(2, 3, 1)+3(1, 0, 5) ③ 두 벡터의 일차결합으로 표현할 수 없다. ④ 3(2, 3, 1)-2(1, 0, 5)

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④
3(2, 3, 1)-2(1, 0, 5)=(6, 9, 3)+(-2, 0, -10)=(4, 9, -7)이다.

6. 벡터 집합이 일차독립일 조건은?

① 동차 일차결합이 비자명해를 갖는다. ② 영벡터가 되는 동차 일차결합의 해가 자명해뿐이다. ③ 한 벡터가 반드시 다른 벡터의 배수이다. ④ 집합에 영벡터가 포함된다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②
모든 계수가 0인 경우에만 일차결합이 영벡터가 되면 벡터 사이에 중복 관계가 없으므로 독립이다.

7. 일차종속과 동치인 설명은?

① 모든 벡터가 길이 1이다. ② 어떤 계수로도 영벡터를 만들 수 없다. ③ 어떤 한 벡터를 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. ④ 모든 벡터가 서로 수직이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③
한 벡터가 나머지의 일차결합이면 항을 한쪽으로 옮겨 비자명한 동차관계를 만들 수 있다.

8. R²의 두 벡터 (1, 2), (3, 6)의 관계는?

① 일차종속이다. ② 일차독립이며 표준기저이다. ③ 서로 직교한다. ④ 두 벡터의 행렬식은 1이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①
(3, 6)=3(1, 2)이므로 한 벡터가 다른 벡터의 배수이고, 열행렬의 행렬식도 0이다.

9. Rⁿ의 n개 벡터가 일차독립일 필요충분조건은?

① 모든 벡터의 성분 합이 0이다. ② 벡터 중 하나가 영벡터이다. ③ 벡터들을 열로 만든 정방행렬의 행렬식이 0이 아니다. ④ 모든 벡터가 서로 같은 방향이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③
정방 열행렬의 행렬식이 0이 아니면 동차방정식이 자명해만 가지므로 열벡터들이 독립이다.

10. R³에서 4개의 벡터를 선택하면 항상 성립하는 것은?

① 항상 표준기저가 된다. ② 항상 서로 직교한다. ③ 항상 일차독립이다. ④ 항상 일차종속이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④
n차원 공간에서 n보다 많은 벡터는 반드시 일차종속이다.

11. R³의 (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (6, 4, x)가 일차독립일 조건은?

① x=0 ② x≠6 ③ x=6 ④ 모든 실수 x

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②
열벡터 행렬의 행렬식이 2x-12이므로 이것이 0이 아닌 x≠6에서 독립이다.

12. R⁴의 두 벡터가 일차독립임을 소행렬식으로 보이려면 충분한 조건은?

① 2×2 소행렬식 중 하나라도 0이 아닌 것이 존재한다. ② 모든 1×1 소행렬식이 0이다. ③ 첫 번째 2×2 소행렬식만 반드시 0이다. ④ 벡터가 네 개보다 많아야 한다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①
두 열의 계수가 2임을 보이는 2차 비영 소행렬식 하나가 있으면 두 벡터는 독립이다.

13. R³의 A=(1, 1, 0), B=(2, -1, 1), C=(2, x, 1)이 같은 원점 평면에 놓일 조건은?

① x=0 ② x=1 ③ x=-1 ④ x≠-1

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③
같은 원점 평면에 있으면 세 벡터가 종속이므로 행렬식을 0으로 둔다. 행렬식 -1-x=0에서 x=-1이다.

14. 벡터공간 V의 기저가 만족해야 할 두 조건은?

① 일차종속이고 영벡터를 포함한다. ② 모든 벡터의 길이가 1이다. ③ 서로 직교하기만 하면 된다. ④ 일차독립이고 V 전체를 생성한다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④
기저에는 중복 방향이 없어야 하며 동시에 공간의 모든 벡터를 일차결합으로 표현할 수 있어야 한다.

15. Rⁿ의 표준기저는 무엇인가?

① 영벡터를 n개 모은 집합 ② 기본단위벡터 e₁, …, e_n의 집합 ③ 서로 같은 벡터 n개의 집합 ④ 임의의 종속 벡터 집합

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②
각각 한 성분만 1이고 나머지가 0인 기본단위벡터들은 독립이며 Rⁿ 전체를 생성한다.

16. 벡터공간 V의 차원 dim V는 무엇으로 정의하는가?

① V에 포함된 모든 벡터의 개수 ② 영벡터의 성분 개수 ③ V의 기저를 구성하는 벡터의 개수 ④ 임의의 생성원에 들어 있는 벡터의 개수

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③
한 공간은 여러 기저를 가질 수 있지만 모든 기저의 원소 수가 같으며, 이 수가 차원이다.

17. 영벡터공간 {O}의 차원은?

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 정의되지 않는다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①
영벡터공간은 독립적인 방향을 갖지 않으므로 차원을 0으로 정의한다.

18. S가 유한차원 벡터공간 V의 부분공간일 때 항상 성립하는 것은?

① dim S>dim V ② dim S≤dim V ③ dim S=0 ④ S는 반드시 V와 같다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②
부분공간에서 선택할 수 있는 독립 방향의 수는 전체 공간의 차원을 넘을 수 없다.

19. S가 V의 부분공간이고 dim S=dim V이면?

① S는 반드시 영벡터공간이다. ② S의 차원은 정의되지 않는다. ③ S는 V보다 큰 공간이다. ④ S=V이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④
부분공간이 전체 공간과 같은 수의 독립 방향을 가지면 빠진 방향이 없으므로 두 공간은 같다.

20. T={(x-y, 0, x-y) | x, y∈R}의 차원은?

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 0

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①
t=x-y로 두면 모든 벡터가 t(1, 0, 1)로 표현되므로 독립 생성벡터가 하나이다.