선형대수 14강 - 내적공간과 직교변환 일반 벡터공간의 내적에서 길이와 각을 정의하고, 직교벡터·단위직교집합·직교보공간의 구조를 살펴본다. 이어 직교행렬과 직교변환이 길이와 각을 보존하는 원리를 정리한다. 제1장 일반 벡터공간의 내적 1. 내적의 네 공리 실수 벡터공간 V에서 두 벡터 A,B에 실수 <A,B>를 대응시키는 관계가 대칭성, 덧셈에 대한 가법성, 실수배에 대한 동차성, 양의 정부호성을 만족하면 내적이라 한다. 즉 <A,B>=<B,A>, <A,B+C>=<A,B>+<A,C>, <kA,B>=k<A,B>이고 <A,A>≥0이며 <A,A>=0일 필요충분조건은 A=O이다. 내적이 정의된 벡터공간을 내적공간이라 하고 {V,<,>}로 표시한다. Rⁿ의 표준 점곱은 일반 내적의 대표 사례이며, 연속함수 공간에서는 <f,g>=∫f(x)g(x)dx 같은 적분식도 내적이 될 수 있다. 2. 길이, 코시-슈바르츠 부등식, 사이각 벡터 A의 노름은 ||A||=√<A,A>로 정의한다. 코시-슈바르츠 부등식 |<A,B>|≤||A||||B|| 덕분에 0이 아닌 A,B에 대해 -1≤<A,B>/(||A||||B||)≤1이므로 cosθ=<A,B>/(||A||||B||), 0≤θ≤π로 사이각을 정의할 수 있다. 구분: 내적은 실수이고 노름은 그 벡터 자기 자신과의 내적의 제곱근이다. 사이각 공식은 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때만 쓴다. 제2장 직교벡터와 직교보공간 1. 직교집합과 단위직교집합 <A,B>=0이면 두 벡터는 직교한다. 영벡터가 아닌 벡터들이 서로 직교하면 이들은 일차독립이다. 서로 직교인 영벡터 아닌 벡터들의 집합을 직교집합이라 하고, 각 벡터의 ...