선형대수 7강 - 평면벡터와 공간벡터 이번 강의에서는 2차원·3차원·n차원 공간의 벡터를 하나의 공통된 틀로 정리하고, 벡터의 크기·실수곱·덧셈을 익힌다. 이어서 3차원 직선의 방정식, 내적을 이용한 사이각과 정사영, 외적을 이용한 넓이와 부피까지 단계적으로 학습한다. 제1장 좌표와 벡터의 출발점 1. 해석기하학과 좌표의 의미 해석기하학은 도형을 좌표와 방정식으로 표현하여 연구하는 방법이다. 평면 위의 한 점을 (x, y) 로 나타내고, 공간의 한 점을 (x, y, z) 로 나타내면 위치를 수로 다룰 수 있다. 예를 들어 중심이 (3, 1)인 원은 (x − 3) 2 + (y − 1) 2 = r 2 처럼 방정식으로 표현된다. 이러한 좌표 표현은 단순히 점의 위치를 표시하는 데 그치지 않는다. 출발점에서 도착점까지의 이동, 힘의 방향, 속도의 크기와 방향처럼 크기와 방향을 함께 가진 양 을 표현하는 도구로 확장되며, 그 핵심이 벡터이다. 2. 벡터와 스칼라 스칼라 는 크기만으로 나타내는 양이고, 벡터 는 크기와 방향을 함께 나타내는 양이다. 평면에서 벡터는 보통 화살표로 그리지만, 계산할 때는 좌표 성분의 순서조로 나타낸다. 따라서 R 2 의 벡터는 (a, b), R 3 의 벡터는 (a, b, c), R n 의 벡터는 (x 1 , x 2 , …, x n )의 형태로 쓴다. 표현상의 핵심 강의록에서는 R n 벡터를 1×n 행렬과 유사하게 볼 수 있다고 설명한다. 다만 벡터의 의미와 행렬의 의미는 문맥에 따라 구분해야 하며, 여기서는 성분별 계산을 이해하기 위한 관점으로 활용한다. 3. 유클리드 n차원 공간 n개의 실수로 이루어진 모든 순서조의 집합을 유클리드 n차원 공간이라고 하며 다음과 같이 나타낸다. R n = { (x 1 , x 2 , …, x n ) | x i ∈ R, i = 1, 2, …, n } R ...