방송대 방통대 선형대수 8강 - 벡터공간과 부분공간 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 8강 - 벡터공간과 부분공간

벡터공간은 벡터의 덧셈과 스칼라곱이 일정한 공리를 만족하는 대수적 구조다. 체의 개념부터 행렬·다항식·연속함수 벡터공간, 부분공간의 닫힘 조건과 대표 판별 사례까지 연결해 학습한다.

제1장 체와 스칼라

1. 체의 정의

체(field) F는 덧셈과 곱셈이라는 두 연산이 정의된 집합이다. 두 연산에 대해 닫혀 있고, 덧셈과 곱셈의 교환법칙·결합법칙, 덧셈항등원 0, 곱셈항등원 1, 덧셈역원, 0이 아닌 원소의 곱셈역원, 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다. 벡터공간에서 체의 원소는 스칼라라고 부른다.

구분	핵심 성질	역원 조건
덧셈	교환·결합, 항등원 0	모든 k에 -k 존재
곱셈	교환·결합, 항등원 1	k≠0일 때 k-1 존재
분배	k(l+m)=kl+km	두 연산 연결

2. 체의 예

유리수 Q, 실수 R, 복소수 C는 통상적인 덧셈과 곱셈에 대해 체다. F={0,1}에 덧셈을 XOR, 곱셈을 AND처럼 정의하면 1+1=0이 되는 두 원소 체도 얻는다. Q(√2)={a+b√2 | a,b∈Q}도 덧셈과 곱셈 결과가 같은 꼴로 남고, 0이 아닌 원소의 역원도 같은 꼴로 표현되어 체가 된다.

시험 핵심: 곱셈역원은 0을 제외한 원소에만 요구한다. 0의 곱셈역원을 요구하면 체의 정의와 모순된다.

제2장 벡터공간의 정의와 공리

1. 두 연산과 여덟 성질

집합 V와 체 F가 있을 때, V의 원소 사이의 덧셈과 F의 원소를 이용한 스칼라곱이 정의되고 다음 조건을 만족하면 V를 F 위의 벡터공간이라 한다. V의 원소가 벡터이며, 표기는 <V,+,·> over F처럼 쓴다.

벡터 덧셈

덧셈에 대해 닫혀 있고 A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C가 성립한다. 영벡터 O가 있어 A+O=A이고, 각 A에 덧셈역원 -A가 있어 A+(-A)=O이다.

스칼라곱

스칼라곱에 대해 닫혀 있고 (kl)A=k(lA), k(A+B)=kA+kB, (k+l)A=kA+lA, 1A=A가 성립한다. 스칼라의 곱과 벡터의 덧셈이 서로 호환되는 조건이다.

벡터는 화살표나 좌표쌍에 한정되지 않는다. 연산 공리를 만족한다면 행렬, 다항식, 함수도 벡터가 될 수 있다.

2. 대표적인 벡터공간

실수 성분 m×n 행렬 전체 M_mn(R)는 행렬합과 스칼라곱에 대해 실수체 위의 벡터공간이다. m=1이면 n차 행벡터 공간 M_1n(R), n=1이면 m차 열벡터 공간 M_m1(R)가 된다.

실수계수 다항식 전체 P(R)는 다항식 덧셈과 계수의 스칼라곱에 대해 벡터공간이다. 두 다항식의 차수가 달라도 없는 차수의 계수를 0으로 보아 덧셈하면 다시 다항식이 된다. 실수에서 실수로 가는 연속함수 전체 C(R)도 (f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x)로 정의하면 연속성이 보존되어 벡터공간이다.

제3장 부분공간의 정의와 판별법

1. 두 가지 닫힘 조건

F 위의 벡터공간 V의 부분집합 S가 A,B∈S이면 A+B∈S이고, A∈S와 k∈F이면 kA∈S를 만족할 때 S를 V의 부분공간이라 한다. 두 조건을 합쳐 A,B∈S와 k,l∈F에 대해 kA+lB∈S라고 검사할 수도 있다.

부분공간은 V의 연산을 그대로 물려받으므로 닫힘만 확인되면 나머지 벡터공간 공리는 V에서 자동으로 성립한다. 특히 스칼라 k=0을 대입하면 O=0A∈S이므로 부분공간은 반드시 영벡터를 포함한다.

빠른 반례: 영벡터가 들어 있지 않으면 즉시 부분공간이 아니다. 상수항이 0이 아닌 조건은 대개 원점을 지나지 않아 이 검사에서 탈락한다.

2. 좌표공간의 사례

S={(x,y,z)∈R³ | x+y+z=0}은 부분공간이다. 조건을 만족하는 A와 B를 더하면 좌표합이 0+0=0이고, kA의 좌표합은 k·0=0이기 때문이다. 반면 S={(x,x+1,0) | x∈R}은 두 원소의 합이 (a+b,a+b+2,0)이 되어 같은 꼴을 벗어나므로 덧셈에 닫혀 있지 않다.

3. 행렬공간과 함수공간의 사례

M₂₂(R)에서 대각행렬 전체 S={[[a,0],[0,d]]}는 덧셈과 스칼라곱 뒤에도 비대각 원소가 0이므로 부분공간이다. C(R)에서 고정된 a에 대해 S={f | f(a)=0}도 (f+g)(a)=0, (kf)(a)=0이므로 부분공간이다.

그러나 S={f | f(a)=5}는 부분공간이 아니다. 두 함수의 합은 a에서 10이 되고, 0배한 함수는 a에서 0이어서 조건을 만족하지 않는다. 이는 동차조건 f(a)=0과 비동차조건 f(a)=5의 차이다.

제4장 일차결합으로 보는 부분공간

V의 두 벡터 A,B에 대해 S={kA+lB | k,l∈R}를 생각하자. S의 두 원소 k₁A+l₁B와 k₂A+l₂B를 더하면 (k₁+k₂)A+(l₁+l₂)B로 다시 S에 속한다. 임의의 t를 곱해도 (tk₁)A+(tl₁)B로 S에 속한다. 따라서 A와 B의 모든 일차결합의 집합은 V의 부분공간이다.

이 관점은 다음 강의의 일차결합, 일차독립, 기저와 차원으로 이어진다. 부분공간은 몇 개 벡터의 일차결합으로 만들어지는 집합으로 이해할 수 있으며, 생성에 필요한 벡터를 분석하는 것이 기저의 출발점이다.

핵심 개념 정리

체는 스칼라가 사칙연산 구조를 이루는 집합이고, 벡터공간은 벡터 덧셈과 스칼라곱이 여덟 공리를 만족하는 집합이다. 행렬 전체, 다항식 전체, 연속함수 전체가 대표 사례다.

부분공간은 벡터공간의 부분집합 중 덧셈과 스칼라곱에 닫힌 집합이다. 영벡터 포함 여부를 먼저 확인하고, 일반 원소 둘의 합과 일반 스칼라배가 정의 조건을 보존하는지 검사한다.

최종 정리: 0을 우변으로 갖는 동차 선형조건은 부분공간을 만드는 대표 구조이고, 상수 이동이 들어간 비동차 조건은 대개 영벡터를 잃는다. 모든 일차결합의 집합은 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 항상 부분공간이다.

예상문제 20선

1. 체의 원소를 벡터공간의 관점에서 무엇이라 부르는가?

① 벡터 ② 스칼라 ③ 부분공간 ④ 기저

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

체 F의 원소는 스칼라이며, 벡터는 V의 원소다.

2. 체에서 곱셈역원의 존재가 요구되는 원소는?

① 모든 원소 ② 0만 ③ 항등원만 ④ 0이 아닌 모든 원소

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

0이 아닌 k마다 k⁻¹이 존재해야 하며 0에는 곱셈역원이 없다.

3. 벡터공간의 벡터 덧셈 공리에 해당하는 것은?

① A+B=B+A ② AB=BA ③ |A|≠0 ④ A·B=0

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

벡터 덧셈은 교환법칙을 만족한다. 나머지는 벡터공간의 일반 공리가 아니다.

4. 스칼라곱의 분배법칙으로 옳은 것은?

① k(A+B)=kA+B ② (k+l)A=klA ③ k(A+B)=kA+kB ④ 1A=1

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

스칼라 k는 벡터합의 각 항에 분배되어 kA+kB가 된다.

5. 다음 중 강의에서 벡터공간의 예로 제시되지 않은 것은?

① 실수 행렬 전체 ② 자연수 전체 ③ 실수계수 다항식 전체 ④ 연속함수 전체

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

자연수 전체는 통상적 연산에서 덧셈역원과 스칼라곱 닫힘을 갖지 않는다.

6. M_mn(R)의 원소는 무엇인가?

① 실수 성분 m×n 행렬 ② n차 정방행렬만 ③ 연속함수 ④ 유리수만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

M_mn(R)는 실수 성분 m×n 행렬 전체의 모임이다.

7. m=1인 M_1n(R)의 이름은?

① m차 열벡터 공간 ② 정방행렬 공간 ③ 다항식 공간 ④ n차 행벡터 공간

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

한 개 행과 n개 열을 가지므로 n차 행벡터 공간이다.

8. P(R)가 벡터공간이 되는 연산의 짝은?

① 함수 합성·미분 ② 행렬곱·전치 ③ 다항식 덧셈·스칼라곱 ④ 내적·외적

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

다항식 덧셈과 실수 스칼라곱은 다시 실수계수 다항식을 만든다.

9. C(R)의 스칼라곱 정의로 옳은 것은?

① (kf)(x)=kf(x) ② (kf)(x)=f(kx) ③ (kf)(x)=k+f(x) ④ (kf)(x)=f(x)^k

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

강의에서는 함수값에 스칼라를 곱하는 (kf)(x)=kf(x)로 정의한다.

10. 부분공간 S의 필수 조건은?

① A,B∈S이면 AB∈S ② A,B∈S이면 A+B∈S ③ 모든 벡터의 크기가 1 ④ S가 V와 같아야 함

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

부분공간은 덧셈과 스칼라곱에 닫혀야 한다.

11. 부분공간이 반드시 포함해야 하는 벡터는?

① 임의의 단위벡터 ② A의 역행렬 ③ 가장 큰 벡터 ④ 영벡터

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

0A=O이므로 부분공간은 영벡터를 포함한다.

12. S={(x,y,z)|x+y+z=0}이 R³의 부분공간인 이유는?

① 덧셈과 스칼라곱이 조건을 보존한다 ② 모든 좌표가 양수다 ③ 원소가 유한 개다 ④ 곱셈역원이 있다

정답입니다.

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정답: ①

좌표합 0이라는 동차조건은 벡터합과 스칼라배 뒤에도 유지된다.

13. S={(x,x+1,0)}이 부분공간이 아닌 직접적 이유는?

① 정방행렬이 아니다 ② 실수를 포함한다 ③ 덧셈에 닫혀 있지 않다 ④ 차원이 3이다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

두 원소를 더하면 정의된 꼴을 벗어나므로 덧셈에 닫혀 있지 않다.

14. M_22(R)에서 부분공간인 집합은?

① 행렬식이 1인 행렬 ② 모든 원소가 1인 행렬 하나 ③ 역행렬이 있는 행렬 전체 ④ 대각행렬 전체

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

대각행렬의 합과 스칼라배는 다시 대각행렬이다.

15. C(R)에서 S={f|f(a)=0}에 대한 설명은?

① 부분공간이 아니다 ② 부분공간이다 ③ 덧셈에 닫혀 있지 않다 ④ 스칼라곱에 닫혀 있지 않다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

함수합과 스칼라배 모두 a에서 값 0을 보존하므로 두 닫힘 조건을 만족한다. 영함수도 포함하므로 부분공간이다.

16. C(R)에서 S={f|f(a)=5}가 부분공간이 아닌 이유는?

① 연속함수가 없어서 ② 체가 아니어서 ③ 영함수를 포함하지 않고 닫힘도 깨져서 ④ a가 실수라서

정답입니다.

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정답: ③

영함수는 조건을 만족하지 않으며 합과 스칼라배도 조건을 보존하지 않는다.

17. A,B의 모든 일차결합 집합 S={kA+lB}에 대한 설명은?

① V의 부분공간이다 ② 항상 V와 같다 ③ 영벡터를 포함하지 않는다 ④ 스칼라곱에 닫혀 있지 않다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

계수의 합과 스칼라배가 다시 실수이므로 두 연산에 닫혀 있다.

18. 다음 중 부분공간이 될 수 없는 R²의 부분집합은?

① {(0,0)} ② {(a,a)|a∈R} ③ R² 전체 ④ {(a,1)|a∈R}

정답입니다.

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정답: ④

{(a,1)}은 영벡터를 포함하지 않고 덧셈에도 닫혀 있지 않다.

19. 부분공간 판별을 한 조건으로 묶어 쓴 것은?

① AB∈S ② kA+lB∈S ③ A·B=1 ④ |A|=0

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

A,B가 S의 원소이고 k,l이 체의 원소일 때 kA+lB가 S에 속하면 덧셈과 스칼라곱의 닫힘을 한 번에 확인한다.

20. 벡터공간 공리 1A=A에서 1은 무엇인가?

① 영벡터 ② 벡터의 크기 ③ 체의 곱셈항등원 ④ 행렬의 차수

정답입니다.

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정답: ③

1은 스칼라가 속한 체 F의 곱셈항등원이다.