방송대 방통대 선형대수 7강 - 평면벡터와 공간벡터 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 7강 - 평면벡터와 공간벡터

이번 강의에서는 2차원·3차원·n차원 공간의 벡터를 하나의 공통된 틀로 정리하고, 벡터의 크기·실수곱·덧셈을 익힌다. 이어서 3차원 직선의 방정식, 내적을 이용한 사이각과 정사영, 외적을 이용한 넓이와 부피까지 단계적으로 학습한다.

제1장 좌표와 벡터의 출발점

1. 해석기하학과 좌표의 의미

해석기하학은 도형을 좌표와 방정식으로 표현하여 연구하는 방법이다. 평면 위의 한 점을 (x, y)로 나타내고, 공간의 한 점을 (x, y, z)로 나타내면 위치를 수로 다룰 수 있다. 예를 들어 중심이 (3, 1)인 원은 (x − 3)² + (y − 1)² = r²처럼 방정식으로 표현된다.

이러한 좌표 표현은 단순히 점의 위치를 표시하는 데 그치지 않는다. 출발점에서 도착점까지의 이동, 힘의 방향, 속도의 크기와 방향처럼 크기와 방향을 함께 가진 양을 표현하는 도구로 확장되며, 그 핵심이 벡터이다.

2. 벡터와 스칼라

스칼라는 크기만으로 나타내는 양이고, 벡터는 크기와 방향을 함께 나타내는 양이다. 평면에서 벡터는 보통 화살표로 그리지만, 계산할 때는 좌표 성분의 순서조로 나타낸다. 따라서 R²의 벡터는 (a, b), R³의 벡터는 (a, b, c), Rⁿ의 벡터는 (x₁, x₂, …, x_n)의 형태로 쓴다.

표현상의 핵심
강의록에서는 Rⁿ 벡터를 1×n 행렬과 유사하게 볼 수 있다고 설명한다. 다만 벡터의 의미와 행렬의 의미는 문맥에 따라 구분해야 하며, 여기서는 성분별 계산을 이해하기 위한 관점으로 활용한다.

3. 유클리드 n차원 공간

n개의 실수로 이루어진 모든 순서조의 집합을 유클리드 n차원 공간이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.

Rⁿ = { (x₁, x₂, …, x_n) | x_i ∈ R, i = 1, 2, …, n }

R²는 R×R, Rⁿ은 R을 n번 곱한 곱집합으로 생각할 수 있다. 순서조 (x₁, x₂, …, x_n) 자체를 n차원 공간벡터 또는 그 좌표라고 하고, x_i를 벡터의 i번째 성분이라 한다.

제2장 R², R³, Rⁿ 공간벡터의 연산

1. 벡터의 상등

두 벡터가 같다는 것은 같은 차원의 대응 성분이 모두 같다는 뜻이다. A=(a₁, a₂, …, a_n), B=(b₁, b₂, …, b_n)일 때, 모든 i에 대하여 a_i=b_i이면 A=B이다. 한 성분이라도 다르면 두 벡터는 같지 않다.

2. 벡터의 크기

벡터의 크기는 원점에서 그 벡터의 끝점까지의 거리이며, 피타고라스 정리를 n차원으로 확장한 형태이다.

|A| = √(a₁² + a₂² + … + a_n²)

R²에서는 두 성분의 제곱합, R³에서는 세 성분의 제곱합에 제곱근을 취한다. 벡터의 크기는 항상 0 이상이며, 영벡터 O의 크기는 0이다.

3. 벡터의 실수곱과 덧셈

벡터 A에 실수 k를 곱할 때는 모든 성분에 k를 곱한다. 즉 kA=(ka₁, ka₂, …, ka_n)이다. 벡터의 덧셈은 같은 위치의 성분끼리 더하여 A+B=(a₁+b₁, …, a_n+b_n)으로 계산한다.

구분	R²	R³	Rⁿ
벡터	(a₁, a₂)	(a₁, a₂, a₃)	(a₁, a₂, …, aₙ)
크기	√(a₁²+a₂²)	√(a₁²+a₂²+a₃²)	√(a₁²+…+aₙ²)
실수곱	(ka₁, ka₂)	(ka₁, ka₂, ka₃)	(ka₁, ka₂, …, kaₙ)
덧셈	(a₁+b₁, a₂+b₂)	(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)	(a₁+b₁, …, aₙ+bₙ)

4. Rⁿ 공간벡터의 공통 성질

A, B, C∈Rⁿ, k, l∈R일 때 다음 성질이 성립한다. 이 성질들은 이후 벡터공간을 정의할 때 기본 공리로 다시 등장한다.

① A+B=B+A

② A+(B+C)=(A+B)+C

③ A+O=O+A=A

④ A+(−A)=O

⑤ k(A+B)=kA+kB

⑥ (k+l)A=kA+lA

⑦ k(lA)=(kl)A

⑧ 1A=A

5. 계산 예제

A=(1,1,2,2,3), B=(2,2,0,4,2)일 때 2A−B를 구하면 먼저 2A=(2,2,4,4,6)이므로 2A−B=(0,0,4,0,4)이다. 그 크기는 √(0²+0²+4²+0²+4²)=√32=4√2이다.

시험 풀이 순서
① 성분별로 벡터 연산을 먼저 수행한다. ② 얻어진 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한다. ③ 마지막에 제곱근을 취한다.

제3장 R³ 공간에서의 직선의 방정식

1. 두 점을 지나는 직선

점 P=(x₁, y₁, z₁)와 Q=(x₂, y₂, z₂)를 지나는 직선 위의 임의의 점을 X=(x, y, z)라 하자. 벡터 PX는 벡터 PQ와 평행하므로 어떤 실수 k에 대하여 PX=kPQ가 된다.

(x, y, z)=(x₁, y₁, z₁)+k(x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)

이를 성분별로 쓰면 x=x₁+k(x₂−x₁), y=y₁+k(y₂−y₁), z=z₁+k(z₂−z₁)이다. 각 식에서 k를 정리하면 대칭형 방정식을 얻는다.

(x−x₁)/(x₂−x₁) = (y−y₁)/(y₂−y₁) = (z−z₁)/(z₂−z₁)

예를 들어 P=(1,2,3), Q=(5,1,4)이면 방향벡터는 Q−P=(4,−1,1)이다. 따라서 직선의 방정식은 (x−1)/4 = −(y−2) = z−3이다.

2. 한 점을 지나고 주어진 벡터에 평행한 직선

점 P=(x₁, y₁, z₁)을 지나고 방향벡터 A=(x₂, y₂, z₂)에 평행한 직선은 점 P에서 방향벡터 A의 실수배만큼 이동한 점들의 집합이다.

(x, y, z)=(x₁, y₁, z₁)+k(x₂, y₂, z₂)

성분형은 x=x₁+kx₂, y=y₁+ky₂, z=z₁+kz₂이며, 대칭형은 (x−x₁)/x₂ = (y−y₁)/y₂ = (z−z₁)/z₂이다.

P=(1,2,3)을 지나고 A=(5,1,4)에 평행한 직선은 (x−1)/5 = y−2 = (z−3)/4로 나타낸다.

두 유형의 차이
두 점이 주어지면 먼저 두 점의 차 Q−P로 방향벡터를 만든다. 한 점과 방향벡터가 주어지면 그 벡터를 그대로 사용한다.

제4장 벡터의 내적

1. 내적의 정의

Rⁿ 공간의 두 벡터 A=(a₁, …, a_n), B=(b₁, …, b_n)의 내적은 대응 성분의 곱을 모두 더한 실수이다.

A·B=a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ

강의록에서는 이를 1×n 행렬 A와 n×1 행렬 B^T의 행렬곱으로도 설명한다. 내적의 결과는 벡터가 아니라 스칼라라는 점이 중요하다.

2. 내적의 성질

내적은 교환법칙 A·B=B·A, 분배법칙 A·(B+C)=A·B+A·C, 실수배에 대한 결합법칙 (kA)·B=k(A·B)=A·(kB)를 만족한다. 또한 A·A=|A|²≥0이며, A·A=0일 필요충분조건은 A=O이다.

3. 내적과 두 벡터의 사이각

R² 또는 R³에서 영벡터가 아닌 두 벡터 A와 B의 사이각을 θ라 하면 다음 관계가 성립한다.

A·B=|A||B|cosθ,   cosθ=(A·B)/(|A||B|)

이 식은 두 벡터가 같은 방향에 가까울수록 내적이 양수가 되고, 반대 방향에 가까울수록 음수가 되며, 서로 수직이면 0이 됨을 보여 준다. 강의록은 이 관계를 Rⁿ 공간의 사이각 정의로 확장한다.

수직 조건: A·B=0
영벡터가 아닌 두 벡터가 수직인 것과 내적이 0인 것은 동치이다.

4. 단위벡터와 정사영벡터

벡터 A와 방향이 같고 크기가 1인 벡터를 A의 단위벡터라 하며 U_A=A/|A|로 나타낸다. 벡터 A를 벡터 B의 방향으로 정사영한 벡터는 A의 B방향 성분에 B의 단위벡터를 곱하여 얻는다.

proj_BA = ((A·B)/|B|²)B

예제에서 A=(6,8), B=(14,2)이면 |A|=10, |B|=10√2이고 A·B=100이므로 cosθ=1/√2, θ=45°이다. A의 B로의 정사영벡터는 (7,1)이 된다.

정사영의 방향 구분
“A의 B로의 정사영”은 A를 B의 방향 위에 내려놓는 것이다. 따라서 최종 벡터의 방향은 B와 같고, 분모에는 |B|²이 들어간다.

제5장 벡터의 외적

1. 외적의 정의와 방향

외적은 R³ 공간의 두 벡터에 대하여 정의되며, 결과는 두 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터이다. A=(a₁,a₂,a₃), B=(b₁,b₂,b₃)일 때 다음과 같다.

A×B=(a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)

외적의 방향은 오른손 법칙으로 결정한다. 오른손의 손가락을 A에서 B로 감을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 A×B의 방향이다. 곱의 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.

2. 기본단위벡터와 행렬식 표현

x, y, z축 방향의 기본단위벡터를 각각 E₁=(1,0,0), E₂=(0,1,0), E₃=(0,0,1)이라 한다. 임의의 벡터 (a,b,c)는 aE₁+bE₂+cE₃로 표현할 수 있으며, 외적은 기본단위벡터를 첫째 행에 놓은 3×3 행렬식으로 계산할 수 있다.

A=(1,3,5), B=(2,4,6)이면 A×B=(−2,4,−2), B×A=(2,−4,2)이므로 A×B=−(B×A)임을 확인할 수 있다.

3. 외적의 성질

① A×B=−(B×A)

② A×A=O

③ (kA)×(lB)=kl(A×B)

④ A×(B+C)=A×B+A×C

⑤ 평행한 두 벡터의 외적은 O

주의
외적은 결합법칙을 일반적으로 만족하지 않는다. 즉 A×(B×C)와 (A×B)×C는 일반적으로 같지 않다.

4. 외적의 기하학적 의미

두 벡터 A와 B의 사이각을 θ라 하면 외적의 크기는 |A×B|=|A||B|sinθ이다. 이는 A와 B가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 삼각형의 넓이는 그 절반으로 구할 수 있다.

평행사변형의 넓이 = |A×B|

5. 스칼라 삼중곱과 평행육면체의 부피

세 벡터 A, B, C가 만드는 평행육면체의 부피는 밑면 넓이 |A×B|에 높이를 곱한 값이며, 스칼라 삼중곱의 절댓값으로 계산한다.

부피 = |(A×B)·C|

A=(a₁,a₂,a₃), B=(b₁,b₂,b₃), C=(c₁,c₂,c₃)일 때 (A×B)·C는 세 벡터를 행으로 둔 3×3 행렬식과 같다. 예제의 A=(2,3,−4), B=(0,−1,1), C=(3,2,6)에 대해서는 스칼라 삼중곱이 −19이므로 부피는 19이다.

핵심 개념 정리

공간벡터

Rⁿ은 n개의 실수로 이루어진 순서조 전체의 집합이다. 벡터는 대응 성분끼리 더하고, 실수곱은 모든 성분에 같은 실수를 곱한다. 크기는 성분 제곱합의 제곱근이다.

직선의 방정식

직선은 한 점과 방향벡터로 표현한다. 두 점이 주어지면 두 점의 차를 방향벡터로 사용한다.

내적

내적은 대응 성분의 곱의 합이며 결과는 실수이다. A·B=|A||B|cosθ를 이용해 사이각, 수직 조건, 정사영을 구한다.

외적

외적은 R³에서 두 벡터 모두에 수직인 벡터를 만든다. 그 크기는 평행사변형의 넓이이며, 스칼라 삼중곱의 절댓값은 평행육면체의 부피이다.

최종 정리
내적은 두 벡터의 방향 관계를 하나의 실수로 압축하고, 외적은 두 벡터가 만드는 평면에 수직인 벡터를 만든다. 직선은 “한 점 + 방향벡터”, 넓이는 “외적의 크기”, 부피는 “스칼라 삼중곱의 절댓값”이라는 연결 구조를 기억하면 계산 문제를 체계적으로 풀 수 있다.

예상문제 20선

1. 유클리드 n차원 공간 Rⁿ에 대한 설명으로 옳은 것은?

① n개의 자연수로 이루어진 순서조의 집합이다. ② n개의 실수로 이루어진 모든 순서조의 집합이다. ③ n×n 정사각행렬 전체의 집합이다. ④ 크기가 n인 벡터 하나만을 뜻한다.

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정답: ②
Rⁿ은 n개의 실수로 이루어진 모든 순서조 (x₁, …, xₙ)의 집합이다.

2. A=(1,−2,3)의 크기는?

① √6 ② 6 ③ 12 ④ √14

정답입니다.

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정답: ④
|A|=√(1²+(−2)²+3²)=√14이다.

3. 두 벡터 A=(a₁,a₂), B=(b₁,b₂)가 같기 위한 조건은?

① a₁=b₁이고 a₂=b₂이다. ② a₁+a₂=b₁+b₂이다. ③ |A|=|B|이다. ④ A와 B의 방향만 같다.

정답입니다.

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정답: ①
벡터의 상등은 대응하는 모든 성분이 각각 같을 때 성립한다.

4. A=(1,2,3), B=(4,−1,2)일 때 A+B는?

① (5,1,1) ② (4,−2,6) ③ (5,1,5) ④ (3,3,1)

정답입니다.

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정답: ③
대응 성분끼리 더하면 (1+4, 2−1, 3+2)=(5,1,5)이다.

5. 벡터의 실수곱에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 첫 번째 성분에만 실수를 곱한다. ② 모든 성분에 같은 실수를 곱한다. ③ 벡터의 크기에만 실수를 더한다. ④ 두 벡터의 대응 성분을 곱한다.

정답입니다.

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정답: ②
kA는 A의 모든 성분에 k를 곱하여 계산한다.

6. A=(1,1,2,2,3), B=(2,2,0,4,2)일 때 2A−B는?

① (0,0,4,0,4) ② (4,4,4,8,8) ③ (0,0,2,0,1) ④ (2,2,4,4,6)

정답입니다.

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정답: ①
2A=(2,2,4,4,6)이므로 B를 빼면 (0,0,4,0,4)이다.

7. 덧셈의 항등원에 관한 식으로 옳은 것은?

① A+(−A)=A ② 1A=O ③ A+A=O ④ A+O=A

정답입니다.

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정답: ④
영벡터 O는 벡터 덧셈의 항등원이므로 A+O=A이다.

8. 점 P=(1,2,3), Q=(5,1,4)를 지나는 직선의 방향벡터는?

① (6,3,7) ② (5,1,4) ③ (4,−1,1) ④ (−4,1,−1)만 가능하다.

정답입니다.

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정답: ③
두 점을 지나는 직선의 방향벡터는 Q−P=(4,−1,1)로 잡을 수 있다.

9. 점 P를 지나고 방향벡터 A에 평행한 직선의 벡터방정식은?

① X=P+kA ② X=A+kP ③ X=k(P+A)만 가능하다. ④ X=P·A

정답입니다.

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정답: ①
직선 위의 점은 기준점 P에서 방향벡터 A의 실수배만큼 이동한 X=P+kA로 나타낸다.

10. P=(1,2,3)을 지나고 A=(5,1,4)에 평행한 직선의 대칭형 방정식은?

① (x−1)/4=(y−2)/1=(z−3)/5 ② (x−1)/5=y−2=(z−3)/4 ③ x/5=y/1=z/4 ④ (x+1)/5=(y+2)=(z+3)/4

정답입니다.

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정답: ②
기준점의 좌표를 빼고 방향벡터의 각 성분으로 나누므로 (x−1)/5=y−2=(z−3)/4이다.

11. A=(1,2,3), B=(4,0,−1)일 때 A·B는?

① −1 ② 0 ③ 4 ④ 1

정답입니다.

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정답: ④
A·B=1·4+2·0+3·(−1)=1이다.

12. 내적의 결과에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 항상 3차원 벡터이다. ② 항상 영벡터이다. ③ 실수인 스칼라이다. ④ 행렬식이다.

정답입니다.

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정답: ③
내적은 대응 성분의 곱을 더한 하나의 실수이다.

13. 영벡터가 아닌 두 벡터 A, B가 수직일 필요충분조건은?

① A×B=0만 성립한다. ② A·B=0이다. ③ |A|=|B|이다. ④ A+B=O이다.

정답입니다.

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정답: ②
두 벡터가 수직이면 cos90°=0이므로 A·B=0이며 그 역도 성립한다.

14. 두 벡터의 사이각 θ를 구할 때 사용하는 식은?

① sinθ=(A·B)/(|A||B|) ② tanθ=|A×B| ③ cosθ=|A+B| ④ cosθ=(A·B)/(|A||B|)

정답입니다.

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정답: ④
내적 공식 A·B=|A||B|cosθ를 정리하면 해당 식을 얻는다.

15. 벡터 A의 단위벡터는?

① A/|A| ② |A|A ③ A·A ④ A×A

정답입니다.

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정답: ①
A와 같은 방향이면서 크기가 1이 되도록 A를 그 크기 |A|로 나눈다.

16. A=(6,8), B=(14,2)일 때 A의 B로의 정사영벡터는?

① (6,8) ② (14,2) ③ (7,1) ④ (1,7)

정답입니다.

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정답: ③
proj_B A=((A·B)/|B|²)B=(100/200)(14,2)=(7,1)이다.

17. 외적 A×B의 방향에 대한 설명으로 옳은 것은?

① A와 같은 방향이다. ② B와 같은 방향이다. ③ A+B와 같은 방향이다. ④ A와 B 모두에 수직이며 오른손 법칙으로 정한다.

정답입니다.

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정답: ④
외적은 A와 B가 이루는 평면에 수직이며 순서에 따른 방향은 오른손 법칙으로 결정한다.

18. A×B와 B×A의 관계는?

① A×B=−(B×A) ② A×B=B×A ③ A×B=A·B ④ 항상 둘 다 1이다.

정답입니다.

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정답: ①
외적은 반교환법칙을 만족하므로 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다.

19. 두 벡터 A, B가 만드는 평행사변형의 넓이는?

① A·B ② |A|+|B| ③ |A×B| ④ |A−B|

정답입니다.

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정답: ③
외적의 크기 |A×B|=|A||B|sinθ는 평행사변형의 밑변×높이와 같다.

20. 세 벡터 A, B, C가 만드는 평행육면체의 부피는?

① (A·B)×C ② |(A×B)·C| ③ |A+B+C| ④ |A·B·C|

정답입니다.

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정답: ②
스칼라 삼중곱 (A×B)·C의 절댓값이 평행육면체의 부피이다.