방송대 선형대수 7강: 공간벡터와 내적·외적

방송대 선형대수 7강: 공간벡터와 내적·외적

두 벡터를 보았을 때 각도를 구할지, 직선의 방향을 만들지, 넓이나 부피를 구할지에 따라 선택할 연산이 달라집니다. 좌표와 기본 연산에서 출발해 직선의 방정식, 내적의 각도·정사영, 외적의 수직 방향·넓이, 스칼라 삼중곱의 부피까지 결과의 종류를 따라 연결합니다.

같은 두 벡터도 질문에 따라 다른 연산을 선택한다

벡터 문제는 공식을 먼저 고르는 대신 원하는 결과가 무엇인지 확인하면 흐름이 선명해집니다. 좌표를 합치거나 방향을 조절하려면 덧셈과 실수곱, 두 방향의 닮은 정도를 수로 알고 싶으면 내적, 두 방향 모두에 수직인 새 방향을 만들고 싶으면 외적을 사용합니다.

질문	선택할 연산	결과의 종류	대표 활용
두 이동을 합치거나 몇 배로 늘리려는가?	덧셈·실수곱	벡터	합성 이동, 방향벡터
두 방향 사이의 각도나 수직 여부를 알고 싶은가?	내적	스칼라	사이각, 정사영
두 방향에 모두 수직인 방향이 필요한가?	외적	3차원 벡터	법선 방향, 회전 방향
두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 구하려는가?	외적의 크기	스칼라	넓이, 점과 직선 사이 거리
세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피를 구하려는가?	스칼라 삼중곱의 절댓값	스칼라	공간 부피

선택 기준: 결과가 숫자여야 하는지 새 벡터여야 하는지부터 구분합니다. 내적은 수를, 외적은 두 입력에 수직인 벡터를 돌려준다는 차이가 중심입니다.

R의 n제곱은 n개의 실수를 순서대로 묶은 공간이다

Rⁿ은 n개의 실수로 이루어진 순서조 전체의 집합입니다. 벡터 A=(a₁, a₂, …, a_n)에서 a_i는 i번째 성분입니다. R²의 벡터는 두 성분, R³의 벡터는 세 성분을 가지며, 같은 차원에서 대응 성분이 모두 같을 때 두 벡터가 같습니다.

크기는 피타고라스 정리를 n차원으로 확장한

|A|=√(a₁²+a₂²+···+a_n²)

로 정의합니다. 영벡터가 아닌 A를 자신의 크기로 나눈 u_A=A/|A|는 A와 같은 방향이고 크기가 1인 단위벡터입니다.

실수 k와 같은 차원의 벡터 A, B에 대해 실수곱은 kA=(ka₁, …, ka_n), 덧셈은 A+B=(a₁+b₁, …, a_n+b_n)입니다. 차원이 다른 벡터끼리는 대응 성분을 짝지을 수 없으므로 이 덧셈을 정의하지 않습니다.

점과 벡터의 구분: 좌표 표기는 같아 보여도 점은 위치를, 벡터는 크기와 방향을 나타냅니다. 두 점 P, Q의 차 Q-P를 계산하면 P에서 Q로 향하는 방향벡터가 됩니다.

성분별 연산은 고차원에서도 같은 규칙을 반복한다

벡터 덧셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족하고 영벡터 O와 덧셈의 역원 -A가 존재합니다. 실수곱은 벡터 덧셈과 실수 덧셈에 대해 분배되고, k(lA)=(kl)A, 1A=A가 성립합니다.

강의록의 A=(1,1,2,2,3), B=(2,2,0,4,2)에서

1. 2A=(2,2,4,4,6)
2. 2A-B=(0,0,4,0,4)
3. |2A-B|=√(0²+0²+4²+0²+4²)=√32=4√2

처럼 계산합니다. 먼저 새 벡터의 각 성분을 구하고 마지막에 크기를 계산해야 합니다. |2A-B|를 2|A|-|B|로 바꾸는 것은 일반적으로 성립하지 않습니다. 크기는 벡터 연산을 마친 뒤 구해야 합니다.

공간의 직선은 한 점과 한 방향으로 생성된다

두 점 P=(x₁,y₁,z₁), Q=(x₂,y₂,z₂)를 지나는 직선의 방향벡터는 Q-P입니다. 직선 위의 점 X는

X=P+t(Q-P)

로 나타냅니다. 강의록의 P=(1,2,3), Q=(5,1,4)에서는 방향벡터가 (4,-1,1)이므로

x=1+4t, y=2-t, z=3+t

이고 대칭형은 (x-1)/4=-(y-2)=z-3입니다. 한 점 P를 지나고 이미 주어진 방향벡터 D에 평행한 직선도 같은 방식으로 X=P+tD로 씁니다.

직접 구성한 예로 P=(1,-2,3), D=(2,0,-1)이라면 매개방정식은 x=1+2t, y=-2, z=3-t입니다. 방향벡터의 둘째 성분이 0이므로 직선의 모든 점에서 y가 -2로 고정됩니다.

0으로 나누지 않기: 위 예를 (y+2)/0으로 쓰면 안 됩니다. 대칭형에서는 0이 아닌 성분만 사용해 (x-1)/2=(z-3)/(-1)로 쓰고, 빠진 좌표 조건 y=-2를 따로 표시합니다. 매개방정식은 이런 예외 없이 항상 안전하게 사용할 수 있습니다.

내적은 성분을 한 숫자로 압축해 각도를 드러낸다

A=(a₁,…,a_n), B=(b₁,…,b_n)의 내적은

A·B=a₁b₁+···+a_nb_n

입니다. 결과는 벡터가 아니라 실수입니다. 내적은 교환법칙 A·B=B·A, 덧셈에 대한 분배법칙, 실수곱과의 결합법칙을 만족하며 A·A=|A|²≥0입니다. A·A=0이면 A=O입니다.

영벡터가 아닌 두 벡터의 사이각 θ는

cosθ=(A·B)/(|A||B|)

로 구합니다. 강의록의 A=(6,8), B=(14,2)에서는 A·B=100, |A|=10, |B|=10√2이므로 cosθ=1/√2이고 θ=45°입니다.

부호로 빠르게 판단: 내적이 양수면 사이각은 예각, 0이면 직각, 음수면 둔각입니다. 수직 여부만 묻는다면 각도를 끝까지 계산할 필요 없이 A·B=0인지 확인합니다.

정사영은 한 벡터가 다른 방향으로 가진 성분이다

A를 영벡터가 아닌 B 방향으로 정사영한 벡터는 B와 같은 방향이어야 하므로 B의 상수배입니다. 그 길이와 방향을 내적으로 결정하면

proj_BA=(A·B/|B|²)B

를 얻습니다. 앞의 A=(6,8), B=(14,2)에서는 계수가 100/200=1/2이므로 proj_BA=(7,1)입니다.

검산은 두 가지로 합니다. 첫째, 결과 (7,1)은 B의 1/2배이므로 B와 평행합니다. 둘째, 남는 벡터 A-(7,1)=(-1,7)은 B와 내적하면 -14+14=0이므로 수직입니다. 즉 A를 B와 평행한 부분과 수직인 부분으로 정확히 나눈 것입니다.

방향을 뒤바꾸는 실수: proj_BA는 ‘A를 B 위로’ 내린 것이므로 결과 방향은 B입니다. 마지막에 곱할 벡터를 A로 쓰면 다른 정사영을 계산하게 됩니다.

외적은 두 입력에 수직인 새 벡터를 만든다

외적은 R³의 두 벡터 A=(a₁,a₂,a₃), B=(b₁,b₂,b₃)에 대해

A×B=(a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)

로 정의합니다. 외적의 결과는 A와 B 모두에 수직인 벡터이며, 방향은 오른손 규칙으로 정합니다. 두 벡터가 평행하면 외적은 영벡터가 됩니다. 강의록의 A=(1,3,5), B=(2,4,6)에서는 A×B=(-2,4,-2), B×A=(2,-4,2)이므로 순서를 바꾸면 부호가 반대가 됩니다.

• A×B=-(B×A)
• A×A=O
• (kA)×(lB)=kl(A×B)
• A×(B+C)=A×B+A×C

외적은 결합법칙을 만족하지 않으므로 A×(B×C)와 (A×B)×C를 같은 것으로 취급하면 안 됩니다.

직접 구성한 통합 예로 A=(1,2,2), B=(2,1,-2)라면 A·B=2+2-4=0이므로 두 벡터는 수직입니다. 외적은 (-6,6,-3)이고, 이 벡터를 A와 B에 각각 내적하면 모두 0이므로 두 입력에 수직임을 확인할 수 있습니다.

외적의 크기와 삼중곱은 넓이와 부피로 이어진다

두 벡터의 사이각을 θ라고 하면 |A×B|=|A||B|sinθ입니다. 밑변을 |A|, 높이를 |B|sinθ로 보면 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 앞의 직접 구성 예에서 |A|=|B|=3이고 두 벡터가 수직이므로 넓이는 3·3·1=9입니다. 실제 외적 (-6,6,-3)의 크기도 √(36+36+9)=9입니다.

세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피는 스칼라 삼중곱의 절댓값

|(A×B)·C|

입니다. 강의록의 A=(2,3,-4), B=(0,-1,1), C=(3,2,6)에서는 (A×B)·C=-19이므로 부피는 |-19|=19입니다. 부호는 세 벡터의 방향 순서를 반영하지만 부피는 음수가 될 수 없으므로 절댓값을 취합니다.

강의 연습문제의 점 S=(-2,0,3)과 직선 (x-2)/3=(y+2)/(-2)=(z-5)/(-1) 사이 거리도 외적의 넓이를 이용할 수 있습니다. 직선 위의 점 P=(2,-2,5), 방향벡터 D=(3,-2,-1), S-P=(-4,2,-2)입니다.

1. D×(S-P)=(6,10,-2)
2. |D×(S-P)|=√140
3. |D|=√14
4. 거리=√140/√14=√10

분자는 방향벡터와 점까지의 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이고, 이를 밑변 길이 |D|로 나누면 높이인 최단거리가 됩니다.

원하는 기하 정보에서 연산을 거꾸로 선택한다

벡터 문제를 만났을 때 다음 순서로 판단하면 내적과 외적, 직선식을 뒤섞지 않을 수 있습니다.

1. 공간과 차원을 확인합니다. 외적은 이 강의에서 R³ 벡터에 사용하며, 덧셈·내적은 두 벡터의 차원이 같아야 합니다.
2. 출력의 종류를 정합니다. 각도·길이·넓이·부피 같은 숫자가 필요한지, 방향벡터 같은 새 벡터가 필요한지 봅니다.
3. 기준 방향을 표시합니다. 직선의 방향벡터와 정사영의 대상 벡터를 명확히 적습니다.
4. 연산 순서를 보존합니다. 외적은 순서를 바꾸면 부호가 바뀌고, 정사영은 어느 벡터 위로 내리는지에 따라 결과가 달라집니다.
5. 기하적으로 검산합니다. 단위벡터의 크기는 1, 정사영의 잔차는 기준 벡터와 수직, 외적은 두 입력과 수직이어야 합니다.
6. 음수가 될 수 없는 양은 절댓값을 확인합니다. 길이·넓이·부피는 음수가 아니므로 삼중곱의 부호를 그대로 부피로 쓰지 않습니다.

벡터 연산 관계 지도

• 좌표의 차는 두 점을 잇는 방향벡터가 되고, 한 점과 방향벡터는 직선을 생성합니다.
• 내적은 두 벡터를 스칼라로 압축하여 각도, 수직 여부, 정사영 계수를 알려 줍니다.
• 외적은 두 벡터에 수직인 벡터를 만들며, 그 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다.
• 외적 결과에 셋째 벡터를 내적하면 방향을 가진 부피가 되고, 절댓값을 취하면 실제 부피가 됩니다.
• 내적은 교환되지만 외적은 순서를 바꿀 때 부호가 반대가 된다는 차이를 유지해야 합니다.

한 문장 전략: 좌표에서 방향을 만들고, 원하는 답이 스칼라인지 벡터인지 정한 뒤, 내적은 각도·정사영에, 외적은 수직 방향·넓이에, 삼중곱은 부피에 연결하고 마지막에는 차원·방향·부호로 검산하세요.

예상문제 10선

1. Rⁿ의 벡터 A=(a₁,…,a_n)에 대한 설명으로 옳은 것은?

① n개의 실수를 순서대로 나열한 벡터이며 a_i는 i번째 성분이다. ② 성분의 순서를 바꾸어도 같은 벡터이다. ③ 서로 다른 차원의 벡터도 대응 성분 없이 더할 수 있다. ④ 벡터의 크기는 성분을 단순히 모두 더한 값이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①

• ① 정답: 순서조의 각 위치가 좌표축 또는 성분 번호에 대응한다.
• ② 오답: 성분 순서를 바꾸면 각 좌표축에 대응하는 값이 달라져 일반적으로 다른 벡터가 된다.
• ③ 오답: 벡터 덧셈은 같은 위치의 성분을 더하므로 차원이 같아야 한다.
• ④ 오답: 크기는 성분 제곱의 합에 제곱근을 취한다.

2. A=(5,a), B=(4,3)이고 |A-B|=√2일 때 a의 값은?

① a=3 ② a=2 ③ a=2 또는 a=4 ④ a=1 또는 a=5

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③

• ① 오답: a=3이면 차벡터의 크기가 1이 되어 조건과 다르다.
• ② 오답: 한 해는 맞지만 (a-3)²=1의 다른 해 4를 누락했다.
• ③ 정답: |(1,a-3)|²=1+(a-3)²=2이므로 a-3=±1이다.
• ④ 오답: 두 값에서는 (a-3)²=4라서 크기가 √5이다.

3. 점 (1,-2,3)을 지나고 방향벡터 (2,0,-1)에 평행한 직선의 표현으로 잘못된 것은?

① x=1+2t, y=-2, z=3-t ② (x-1)/2=(y+2)/0=(z-3)/(-1) ③ (x-1)/2=(z-3)/(-1), y=-2 ④ X=(1,-2,3)+t(2,0,-1)

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②

• ① 오답: 점과 방향벡터를 성분별 매개방정식으로 정확히 나타냈다.
• ② 정답: 방향벡터의 둘째 성분이 0이므로 0으로 나누는 비율식은 정의되지 않는다.
• ③ 오답: 0이 아닌 방향 성분만 비율식에 쓰고 고정 좌표를 별도로 표시했다.
• ④ 오답: 한 점과 방향벡터를 이용한 벡터방정식이다.

4. 내적과 외적의 차이를 바르게 설명한 것은?

① 내적과 외적의 결과는 모두 실수이다. ② 내적과 외적은 모두 순서를 바꾸어도 결과가 같다. ③ 내적은 수직 벡터를 만들고 외적은 사이각의 코사인을 직접 준다. ④ 내적은 스칼라를 만들고, 외적은 3차원에서 두 입력에 수직인 벡터를 만든다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 외적의 결과는 세 성분을 가진 벡터이다.
• ② 오답: 내적은 교환되지만 외적은 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다.
• ③ 오답: 두 연산의 출력과 기하적 역할을 서로 뒤바꾸었다.
• ④ 정답: 결과의 종류와 대표 기하 의미를 정확히 구분했다.

5. A=(1,2,2), B=(2,1,-2)의 관계는?

① A·B=0이므로 두 벡터는 수직이다. ② A·B=4이므로 두 벡터는 예각을 이룬다. ③ A×B=O이므로 두 벡터는 평행하다. ④ 두 벡터의 크기가 다르므로 사이각을 정의할 수 없다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①

• ① 정답: 1·2+2·1+2·(-2)=0이며 두 벡터는 영벡터가 아니므로 수직이다.
• ② 오답: 마지막 곱의 음수를 반영하면 내적은 4가 아니라 0이다.
• ③ 오답: 실제 외적은 (-6,6,-3)이며 영벡터가 아니다.
• ④ 오답: 영벡터가 아닌 두 벡터는 크기가 달라도 사이각을 정의할 수 있다.

6. A=(6,8)을 B=(14,2) 방향으로 정사영한 벡터는?

① (6,8) ② (-1,7) ③ (7,1) ④ (3,4)

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③

• ① 오답: 원래 A이며 B와 평행하지 않아 B 방향 성분이 아니다.
• ② 오답: 이는 A에서 정사영을 뺀 수직 잔차이다.
• ③ 정답: (A·B/|B|²)B=(100/200)(14,2)=(7,1)이다.
• ④ 오답: A의 절반이지만 B의 상수배가 아니어서 방향 조건을 만족하지 않는다.

7. 두 벡터의 순서를 바꾸었을 때 외적의 변화로 옳은 것은?

① 크기가 제곱으로 바뀐다. ② 내적처럼 같은 벡터가 된다. ③ 각 성분의 절댓값이 달라진다. ④ 크기는 같고 방향이 반대여서 B×A=-(A×B)이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 입력 순서는 크기를 제곱하지 않고 방향의 부호만 바꾼다.
• ② 오답: 외적은 반교환적이므로 내적의 교환법칙과 다르다.
• ③ 오답: 모든 성분에 -1이 곱해져 절댓값은 그대로이다.
• ④ 정답: 오른손 규칙의 방향이 뒤집히며 벡터 전체의 부호가 반대가 된다.

8. 점 S와 직선 위 점 P, 방향벡터 D를 이용해 점과 직선 사이 거리를 구하는 순서로 옳은 것은?

① D·(S-P)를 구한 뒤 |S-P|로 나눈다. ② S-P를 만들고 |D×(S-P)|를 구한 뒤 |D|로 나눈다. ③ D와 S를 더한 벡터의 크기를 구한다. ④ D×(S-P)의 각 성분을 단순히 더한다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②

• ① 오답: 내적은 평행 성분을 다루며 여기서 필요한 평행사변형의 높이를 직접 주지 않는다.
• ② 정답: 외적의 크기가 밑변×높이이므로 밑변 |D|로 나누면 최단거리인 높이가 된다.
• ③ 오답: 위치벡터와 방향벡터의 단순 합에는 점과 직선 사이 거리의 기하 의미가 없다.
• ④ 오답: 외적 벡터의 크기는 성분 제곱합의 제곱근으로 구한다.

9. A=(2,3,-4), B=(0,-1,1), C=(3,2,6)이 만드는 평행육면체의 부피는?

① -19 ② 9 ③ 19 ④ √19

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③

• ① 오답: 스칼라 삼중곱은 -19지만 부피는 음수가 될 수 없어 절댓값을 취한다.
• ② 오답: 두 벡터의 외적 크기와 세 벡터의 삼중곱을 혼동한 값이다.
• ③ 정답: |(A×B)·C|=|-19|=19이다.
• ④ 오답: 삼중곱 값에 다시 제곱근을 취하지 않는다.

10. 두 3차원 벡터로 각도와 평행사변형 넓이를 모두 구하려 할 때 올바른 선택은?

① 각도와 넓이 모두 벡터 덧셈만 사용한다. ② 각도는 외적 벡터 자체, 넓이는 내적의 부호만 사용한다. ③ 각도와 넓이 모두 두 벡터의 성분 합으로 계산한다. ④ 각도는 내적과 두 크기로 코사인을 구하고, 넓이는 외적의 크기를 구한다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 덧셈 결과는 합성 벡터이며 각도와 넓이를 직접 주지 않는다.
• ② 오답: 각도는 내적의 코사인 관계, 넓이는 외적의 크기와 연결된다.
• ③ 오답: 성분 합만으로는 방향 사이 관계를 보존할 수 없다.
• ④ 정답: A·B=|A||B|cosθ와 |A×B|=|A||B|sinθ를 각각 목적에 맞게 사용한다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 벡터 연산의 관계, 단계별 계산, 오류 교정과 문제 해설은 학습자의 이해를 돕도록 구성하고 검토했습니다.

• 작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
• 주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과, 「선형대수 강의록 7강: 평면벡터와 공간벡터」, 손진곤 교수, 2024년 자료.
• 보충 자료: 외부 자료를 사용하지 않았습니다.
• 편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
• 최종 내용 검토: 2026-08-26