방송대 인공지능 6강: 술어논리와 도출연역

“모든 회원은 대출할 수 있다”라는 규칙과 “민지는 회원이다”라는 사실에서 결론을 얻으려면, 자연어를 어떤 논리식으로 바꾸고 컴퓨터는 어떤 절차로 모순을 찾아야 할까요? 이 글은 명제논리의 진리표에서 출발해 술어·한정기호·단일화를 거쳐 도출연역으로 정리를 증명하는 전 과정을 하나의 변환 파이프라인으로 연결합니다.

논리적 지식표현은 문장을 증명 가능한 형태로 바꾸는 일이다

논리에 의한 지식표현에서는 문장의 뜻을 단순히 저장하지 않는다. 무엇이 참인지 판정할 수 있는 논리식으로 표현하고, 이미 참이라고 받아들인 전제에서 새로운 결론을 이끌어 낸다. 이 과정은 크게 세 층으로 나눌 수 있다.

층	핵심 질문	대표 도구	결과
표현	문장을 어떤 기호로 적을 것인가?	명제, 술어, 객체, 한정기호	정형식
정규화	추론 규칙이 다루기 쉬운 꼴인가?	함의 제거, 부정 이동, 연언표준형, 절 분리	절의 집합
추론	전제들이 목표를 논리적으로 보장하는가?	단일화, 도출, 반박에 의한 증명	도출절 또는 모순

판단 핵심: 명제논리와 술어논리의 차이만 외우기보다, “개별 문장의 참·거짓이면 충분한가, 객체와 일반 규칙까지 표현해야 하는가?”를 먼저 묻는다. 뒤의 절 변환과 도출은 앞에서 만든 표현을 실제 증명에 사용하는 단계다.

명제논리는 문장 전체를 참 또는 거짓인 단위로 다룬다

명제는 참과 거짓을 구분할 수 있는 문장이다. 더 분해하지 않는 최소 단위는 기본명제 또는 원소식이며 p, q처럼 나타낸다. 기본명제를 논리 연산자로 결합하면 합성명제가 된다.

연산	기호	읽는 법	참이 되는 기준
부정	~p	p가 아니다	p가 거짓
연언	p ∧ q	p이고 q이다	둘 다 참
선언	p ∨ q	p이거나 q이다	하나 이상 참
함의	p → q	p이면 q이다	p가 참이고 q가 거짓인 경우만 제외
동치	p ↔ q	p와 q의 진릿값이 같다	둘의 진릿값이 같음

조건명제 p → q에서 유일한 거짓은 전건 p가 참인데 후건 q가 거짓인 경우다. 전건이 거짓이면 조건을 어긴 사례가 아니므로 전체 조건명제는 참으로 정의한다. 따라서 p → q와 ~p ∨ q는 모든 진릿값 조합에서 결과가 같아 논리적으로 동치다.

오개념 교정: “p이면 q”를 “q이면 p”로 뒤집을 수 없다. 또한 p → q와 p ∧ q도 다르다. 전자는 p가 거짓일 때 참일 수 있지만, 후자는 두 명제가 모두 참이어야 한다.

정형식은 기호를 임의로 늘어놓지 못하게 하는 문법이다

명제논리의 정형식은 재귀적으로 정의된다. 기본명제는 논리식이고, p가 논리식이면 ~p도 논리식이며, p와 q가 논리식이면 p → q도 논리식이다. 이 규칙으로 얻은 식만 논리식이다. 부정과 함의만으로도 p ∧ q ≡ ~(p → ~q), p ∨ q ≡ ~p → q처럼 다른 연산을 표현할 수 있으므로 이들은 논리 연산자의 완전집합을 이룬다.

표준형과 항진식은 식의 모양과 추론의 타당성을 점검한다

리터럴은 기본명제 또는 그 부정이다. 리터럴의 논리합을 절로 만들고 그 절들을 논리곱으로 연결하면 연언표준형(CNF)이다. 반대로 리터럴의 논리곱으로 된 절들을 논리합으로 연결하면 선언표준형(DNF)이다.

형식	바깥 연결	안쪽 절	예
연언표준형	절과 절을 ∧로 연결	리터럴을 ∨로 연결	(p ∨ ~q) ∧ (~r ∨ s ∨ t)
선언표준형	절과 절을 ∨로 연결	리터럴을 ∧로 연결	(~p ∧ r) ∨ (~q ∧ s ∧ t)

항진식은 기본명제의 진릿값과 관계없이 언제나 참인 논리식이다. p ∨ ~p뿐 아니라 {p ∧ (p → q)} → q도 항진식이다. 후자는 “p”와 “p이면 q”가 참이면 q가 참이라는 긍정논법의 타당성을 진리표 전체에서 확인한 식이다. 마찬가지로 {(p → q) ∧ (q → r)} → (p → r)는 조건의 연쇄가 타당함을 보인다.

연역은 전제를 근거로 결론을 필연적으로 끌어내는 추론이다. 긍정논법은 α와 α → β에서 β를, 부정논법은 ~β와 α → β에서 ~α를 얻는다. 후건을 긍정해 전건을 결론 내리거나 전건을 부정해 후건을 부정하는 것은 타당한 규칙이 아니다.

일반 규칙이 등장하면 문장 내부의 객체와 관계를 열어야 한다

명제논리에서 “소크라테스는 사람이다”를 p, “플라톤은 사람이다”를 q로 두면 두 문장 안에 공통으로 들어 있는 “사람”이라는 성질이 사라진다. “모든 사람은 죽는다”라는 규칙을 각 사람에게 적용하려면 문장을 더 세밀하게 분해해야 한다. 술어논리는 이를 술어(객체) 형식으로 표현한다.

Man(SOCRATES): 객체상수 SOCRATES가 사람이라는 성질을 갖는다.
On(X, Y): 두 객체 X와 Y 사이에 “X가 Y의 바로 위에 있다”라는 관계가 있다.
Korean(father(철수)): 함수 father(철수)가 가리키는 객체가 한국인이다.

술어의 괄호 안에는 객체상수, 객체변수, 함수가 올 수 있다. 상수는 특정 객체를 지칭하고, 변수는 정의역의 여러 객체를 대신하며, 함수는 주어진 객체로부터 다른 객체를 지칭하는 항을 만든다. 함수는 참·거짓을 말하는 술어가 아니라 객체를 돌려준다는 점이 중요하다.

판단 핵심: father(철수)는 하나의 객체를 나타내는 항이고, Father(철수, 영호)는 두 객체 사이의 관계가 참인지 묻는 원소식이다. 괄호 모양만 보고 둘을 같은 종류로 판단하지 않는다.

한정기호는 변수가 가리키는 범위를 결정한다

전칭기호 ∀는 정의역의 모든 원소에 대해 성립한다는 뜻이고, 존재기호 ∃는 조건을 만족하는 원소가 적어도 하나 있다는 뜻이다. “모든 새는 날개가 있다”는 ∀x(Bird(x) → HasWings(x))이고, “키가 크지 않은 농구선수가 있다”는 ∃x(BasketballPlayer(x) ∧ ~Tall(x))이다.

두 문장의 연결자가 다른 이유에 주목해야 한다. 전칭 규칙은 “x가 새라는 조건을 만족하면 날개가 있다”이므로 함의를 쓴다. 존재 주장은 한 객체가 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 연언을 쓴다. ∀x(Bird(x) ∧ HasWings(x))라고 쓰면 정의역의 모든 것이 새라고 주장하는 전혀 다른 문장이 된다.

한정기호의 부정은 기호를 바꾸고 술어 안으로 이동한다

~∃x P(x) ≡ ∀x ~P(x): P인 것이 하나도 없다는 말은 모든 것이 P가 아니라는 말과 같다.
~∀x P(x) ≡ ∃x ~P(x): 모두 P라는 말이 거짓이면 P가 아닌 반례가 적어도 하나 있다.
∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x)) ∧ (∀y Q(y))
∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃x P(x)) ∨ (∃y Q(y))

경계 사례: ∃x(P(x) ∧ Q(x))를 (∃x P(x)) ∧ (∃y Q(y))로 나누면 안 된다. 오른쪽은 P인 객체와 Q인 객체가 서로 달라도 참이지만, 왼쪽은 같은 한 객체가 두 성질을 모두 가져야 한다.

항과 정형식은 술어논리의 문법을 완성한다

객체상수와 객체변수는 항이다. t₁, …, tₙ이 항이고 f가 n항 함수기호이면 f(t₁, …, tₙ)도 항이며, 이 규칙으로 만든 것만 항이다. 참과 거짓은 정형식이고, 항을 인수로 갖는 원소식도 정형식이다. 정형식 P, Q에서 ~P, P → Q를 만들 수 있고, 변수 x를 ∀x P 또는 ∃x P로 한정할 수도 있다.

도출연역은 서로 반대인 리터럴을 지워 새 절을 만든다

도출연역(resolution)의 핵심은 두 부모절에 서로 보완적인 리터럴이 있을 때 그 쌍을 제거하고 나머지를 합쳐 도출절을 만드는 것이다. 예를 들어 ~P ∨ Q와 ~Q ∨ R에서 Q와 ~Q를 지우면 ~P ∨ R을 얻는다. P와 ~P를 도출하면 빈 절, 즉 false가 된다.

부모절	제거되는 쌍	도출절
P, ~P ∨ Q	P와 ~P	Q
P ∨ Q, ~P ∨ Q	P와 ~P	Q
~P, P	~P와 P	false
~P ∨ Q, ~Q ∨ R	Q와 ~Q	~P ∨ R

술어논리에서는 술어 이름뿐 아니라 인수도 일치해야 한다. Father(A,B)는 ~Father(C,D) ∨ Male(C)와 그대로 도출할 수 없다. 그러나 두 번째 절이 ~Father(x,y) ∨ Male(x)라면 치환 {x/A, y/B}로 두 원소식을 같게 만들 수 있다. 이처럼 변수에 항을 대입해 식을 일치시키는 과정을 단일화라고 한다.

실패 진단: 보완 리터럴의 술어와 인수 구조가 일치하지 않으면 도출할 수 없다. 상수가 서로 다른데 억지로 같은 값으로 바꾸는 것도 허용되지 않는다. 바꿀 수 있는 것은 변수이며, 하나의 치환은 같은 절 안의 해당 변수에 일관되게 적용해야 한다.

술어논리식은 아홉 단계를 거쳐 도출 가능한 절이 된다

도출 규칙은 논리합으로 된 절을 입력으로 받기 때문에 복잡한 술어논리식을 바로 사용할 수 없다. 강의의 절 분리 과정은 다음 순서를 따른다.

함의 제거: P → Q를 ~P ∨ Q로 바꾼다.
부정의 범위 축소: 드모르간 법칙과 한정기호 부정 등식을 써서 부정을 원소식 바로 앞까지 이동한다.
변수 표준화: 서로 다른 한정기호가 우연히 같은 변수 이름을 쓰지 않도록 이름을 바꾼다.
존재기호 제거: 존재변수를 스콜렘 상수 또는 앞선 전칭변수의 함수로 대체한다. 예컨대 x에 의존하는 존재변수는 g(x)로 나타낼 수 있다.
관두형으로 이동: 한정기호를 식의 앞부분에 모은다.
연언표준형 변환: 논리합을 논리곱에 대해 분배하여 “절들의 연언”으로 만든다.
전칭기호 제거: 남은 변수는 절에서 암묵적으로 전칭된 것으로 보고 기호를 생략한다.
연언기호 제거: 각 논리합을 독립된 절로 분리한다.
절별 변수 이름 분리: 서로 다른 절의 변수는 독립적이므로 같은 이름을 쓰지 않도록 표준화한다.

판단 핵심: 이 변환의 목적은 원래 식의 의미를 임의로 바꾸는 것이 아니라 도출 규칙이 처리할 수 있는 절 집합을 얻는 것이다. 특히 존재기호 제거에서 새 함수가 어떤 전칭변수에 의존하는지 놓치면 이후 증명의 의미가 달라진다.

정리 증명은 목표를 부정한 뒤 모순까지 거슬러 간다

도출연역에 의한 정리 증명은 직접 목표를 만드는 방식이 아니라 반박에 의한 증명이다. 증명할 정리 G를 부정한 ~G를 공리에 추가하고 모두 절로 변환한다. 도출 가능한 부모절을 반복해서 선택해 새 절을 만들며, 빈 절 false가 나오면 “공리와 ~G를 동시에 참으로 둘 수 없다”는 뜻이므로 원래 정리 G가 참임이 증명된다. 더 이상 새 절을 만들 수 없는데 모순이 없으면 그 절차에서는 증명에 실패한 것이다.

직접 만든 도서관 규칙으로 증명 흐름을 따라가 본다

정의역을 사람으로 두고 다음 지식을 가정하자.

규칙: 모든 회원은 대출 권한이 있다. ∀x(Member(x) → CanBorrow(x))
사실: 민지는 회원이다. Member(MINJI)
목표: 민지는 대출 권한이 있다. CanBorrow(MINJI)

규칙을 절로 바꾸면 ~Member(x) ∨ CanBorrow(x)이다. 목표의 부정 ~CanBorrow(MINJI)를 추가한다. 규칙절과 목표의 부정을 x ← MINJI로 단일화해 도출하면 ~Member(MINJI)를 얻는다. 이것을 사실 Member(MINJI)와 도출하면 false가 된다. 따라서 목표의 부정이 공리와 양립할 수 없고, CanBorrow(MINJI)가 증명된다.

강의의 블록 예제도 같은 구조다. On(A,B)와 On(B,TABLE), “바로 위이면 위에 있음”, “위에 있음은 추이적임”이라는 공리로부터 Above(A,TABLE)을 증명한다. 목표를 부정한 절에서 출발해 공리와 단일화하고, 관측 사실과 차례로 도출하면 마지막에 On(B,TABLE)과 그 부정이 만나 false가 된다.

자가 점검: 위 도서관 예제에서 사실 Member(MINJI)를 삭제하면 빈 절에 도달할 수 있는지 설명해 보자. 규칙은 회원인 경우의 결과만 말할 뿐 민지가 회원이라는 전제를 제공하지 않으므로 증명은 완성되지 않는다.

핵심 개념 정리

문장 전체의 진릿값만 필요하면 명제논리로 표현하고, 객체·관계·일반 규칙이 필요하면 술어논리로 확장한다.
표현의 문법은 항과 정형식이, 변수의 범위는 전칭·존재 한정기호가 결정한다.
추론 준비에서는 함의와 복잡한 한정 구조를 제거하고 연언표준형의 독립된 절들로 바꾼다.
추론 실행에서는 단일화로 인수를 맞춘 뒤 보완 리터럴을 제거해 새 절을 만든다.
정리 증명에서는 목표의 부정을 추가하고 도출을 반복해 빈 절이 생기는지 확인한다.

문제를 풀 때는 “자연어에서 객체와 조건을 구분한다 → 한정기호와 연결자를 정확히 선택한다 → 절 변환 순서를 지킨다 → 단일화 가능한 보완 리터럴을 찾는다 → 목표의 부정에서 모순까지 이어지는지 확인한다”라는 순서로 사고하면 표현 오류와 추론 오류를 함께 줄일 수 있습니다.

예상문제 10선

1. 명제논리의 조건명제 p → q가 거짓인 경우는?

① p와 q가 모두 참인 경우 ② p가 거짓이고 q가 참인 경우 ③ p가 참이고 q가 거짓인 경우 ④ p와 q가 모두 거짓인 경우

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정답: ③

① 오답: 전건의 약속과 후건의 결과가 함께 성립하므로 조건을 어기지 않는다.
② 오답: 전건이 거짓이면 조건을 위반한 사례가 아니므로 함의는 참이다.
③ 정답: 전건이 성립했는데 후건이 성립하지 않은 유일한 위반 사례다.
④ 오답: 전건이 거짓이므로 후건의 거짓만으로 조건명제를 거짓이라 할 수 없다.

2. 연언표준형에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 리터럴의 논리합으로 된 절들을 논리곱으로 연결한다. ② 리터럴의 논리곱으로 된 절들을 논리합으로 연결한다. ③ 기본명제의 진릿값과 무관하게 항상 참인 식만 가리킨다. ④ 함의 연산자만으로 구성된 모든 정형식을 가리킨다.

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정답: ①

① 정답: 안쪽 절은 ∨, 절 사이의 바깥 연결은 ∧인 형태가 CNF다.
② 오답: 안쪽이 ∧이고 바깥이 ∨인 구조는 선언표준형이다.
③ 오답: 모든 진리배정에서 참인지는 항진식의 기준이며 식의 표준형과 다르다.
④ 오답: 정형식의 생성 규칙과 연언표준형의 구조 조건을 혼동했다.

3. “모든 새는 날개가 있다”를 가장 적절하게 표현한 식은?

① ∃x(Bird(x) ∧ HasWings(x)) ② ∀x(Bird(x) ∧ HasWings(x)) ③ ∃x(Bird(x) → HasWings(x)) ④ ∀x(Bird(x) → HasWings(x))

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 새이면서 날개가 있는 객체가 하나 이상 있다는 존재 주장에 그친다.
② 오답: 정의역의 모든 객체가 새라고까지 주장하므로 원문보다 강하다.
③ 오답: 존재기호 아래 함의는 새가 아닌 객체 하나만 있어도 쉽게 참이 될 수 있다.
④ 정답: 정의역의 모든 x에 대해 x가 새라는 조건이면 날개가 있다는 규칙을 정확히 나타낸다.

4. 함수기호와 술어기호를 올바르게 구분한 설명은?

① 함수와 술어는 모두 진릿값만 돌려준다. ② father(철수)는 객체를 가리키는 항이고, Korean(father(철수))는 참·거짓을 갖는 원소식이다. ③ 함수는 한정기호가 붙을 때만 항이 된다. ④ 술어의 인수에는 객체상수만 올 수 있다.

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정답: ②

① 오답: 함수는 정의역의 객체를 나타내는 항을 만들고 술어가 진릿값을 갖는다.
② 정답: 함수항을 술어의 인수로 넣어 하나의 원소식을 만드는 구조를 정확히 구분했다.
③ 오답: 항인 인수들에 함수기호를 적용하면 한정기호 없이도 함수항이 된다.
④ 오답: 술어의 인수에는 상수뿐 아니라 변수와 함수항도 올 수 있다.

5. ~∀x P(x)와 논리적으로 동치인 식은?

① ∀x ~P(x) ② ∃x ~P(x) ③ ~∃x ~P(x) ④ ∃x P(x)

정답입니다.

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정답: ②

① 오답: 모두가 P가 아니라는 주장은 “모두 P”의 부정보다 더 강하다.
② 정답: 모든 객체가 P라는 주장이 거짓이면 P가 아닌 반례가 적어도 하나 존재한다.
③ 오답: 이는 이중 변환하면 ∀x P(x)가 되어 원래 식의 반대다.
④ 오답: P인 객체의 존재는 P가 아닌 반례의 존재를 보장하지 않는다.

6. 부모절 ~P ∨ Q와 ~Q ∨ R을 도출했을 때 얻는 절은?

① P ∨ R ② Q ∨ R ③ ~Q ∨ R ④ ~P ∨ R

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 첫 부모절에 남는 리터럴은 P가 아니라 ~P다.
② 오답: Q는 ~Q와 보완쌍을 이루어 제거되므로 결과에 남지 않는다.
③ 오답: ~Q도 Q와 함께 제거되며 첫 절의 ~P를 누락했다.
④ 정답: 보완적인 Q와 ~Q를 지우고 두 부모절의 나머지 ~P와 R을 선언으로 합친다.

7. 술어논리식을 절로 바꾸는 과정에서 존재기호 제거보다 먼저 해야 할 단계는?

① 서로 다른 한정기호가 쓰는 변수의 이름을 표준화한다. ② 모든 전칭기호를 제거하고 변수 범위를 잊는다. ③ 연언기호를 제거해 절을 모두 분리한다. ④ 절마다 변수 이름을 서로 다르게 바꾸는 마지막 표준화를 한다.

정답입니다.

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정답: ①

① 정답: 한정된 변수의 충돌을 먼저 없애야 존재변수의 의존 관계를 정확히 반영할 수 있다.
② 오답: 전칭기호 제거는 관두형과 연언표준형 변환 뒤에 수행한다.
③ 오답: 절 분리는 연언표준형을 얻고 전칭기호를 생략한 뒤의 단계다.
④ 오답: 절별 변수 이름 분리는 절을 나눈 뒤 수행하는 마지막 단계다.

8. ~Father(x,y) ∨ Male(x)와 Father(A,B)를 도출하기 위한 단일화 치환은?

① {x/B, y/A} ② {A/x, B/y}에서 상수 A와 B를 변수로 변경 ③ {x/A, y/B} ④ {x/A, y/A}

정답입니다.

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정답: ③

① 오답: 인수 순서를 바꾸면 Father(B,A)가 되어 주어진 사실과 일치하지 않는다.
② 오답: 단일화에서는 변수를 항으로 대체하며 주어진 상수를 임의의 변수로 바꾸지 않는다.
③ 정답: 첫째 인수 x를 A로, 둘째 인수 y를 B로 바꾸면 보완 리터럴이 정확히 일치한다.
④ 오답: 둘째 인수가 A가 되어 Father(A,A)가 되므로 Father(A,B)와 다르다.

9. 반박에 의한 도출연역 증명에서 false가 도출되었다는 의미는?

① 공리 자체가 모두 거짓임이 확인되었다. ② 목표 정리와 그 부정이 모두 참일 수 있다. ③ 더 이상 도출 가능한 절이 없어 증명에 실패했다. ④ 공리와 목표의 부정을 함께 가정하면 모순이므로 원래 목표가 증명된다.

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 모순은 공리만이 아니라 공리와 추가한 목표의 부정이 양립하지 않음을 뜻한다.
② 오답: false는 두 가정을 동시에 만족시키는 해석이 없다는 신호다.
③ 오답: 새 절 없이 종료되는 경우가 증명 실패이며, 빈 절 도출은 성공 조건이다.
④ 정답: 목표의 부정이 공리와 모순되므로 공리가 성립하는 범위에서 원래 목표가 따라온다.

10. 도서관 예제에서 Member(MINJI) 사실을 삭제했을 때 가장 적절한 판단은?

① 규칙만으로는 민지가 회원인지 알 수 없어 CanBorrow(MINJI) 증명이 완성되지 않는다. ② 전칭규칙이 있으므로 정의역의 모든 사람이 자동으로 회원이 된다. ③ 목표의 부정만 추가하면 즉시 false가 도출된다. ④ Member와 CanBorrow의 술어 이름을 단일화하면 증명할 수 있다.

정답입니다.

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정답: ①

① 정답: 함의 규칙은 회원이라는 전건이 확보된 객체에만 대출 권한을 결론으로 준다.
② 오답: ∀x(Member(x) → CanBorrow(x))는 회원이면 권한이 있다는 뜻이지 모두가 회원이라는 뜻이 아니다.
③ 오답: ~CanBorrow(MINJI)와 규칙으로 ~Member(MINJI)를 얻어도 그 보완 사실이 없어 빈 절이 나오지 않는다.
④ 오답: 단일화는 같은 술어의 인수를 맞추는 과정이며 서로 다른 술어 이름을 같게 만들지 않는다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 강의의 논리식과 증명 범위를 유지하면서 개념 관계, 도서관 적용 예제, 오개념 분석과 문제 해설을 학습자의 이해를 돕도록 새로 구성하고 검토했습니다.

작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과 「인공지능」 6강 ‘논리에 의한 지식표현’ 강의록(2025)
보충 자료: 외부 보충 자료를 사용하지 않음
편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
최종 내용 검토: 2026-08-17

방송대 인공지능 6강: 술어논리와 도출연역