방송대 방통대 선형대수 6강 - 크래머 공식과 행렬식·역행렬 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 6강 - 크래머 공식과 행렬식·역행렬

이번 강의에서는 행렬식을 이용하여 일차연립방정식의 해를 구하는 크래머 공식과, 여인수행렬 및 수반행렬을 이용해 역행렬을 구하는 방법을 학습한다. 또한 행렬방정식 AX=B의 해법과 행렬식을 활용한 삼각형의 면적 계산까지 연결하여 정리한다.

제1장 학습 개요와 핵심 목표

제6강의 중심 주제는 크게 세 부분으로 나뉜다. 첫째, 크래머 공식을 이용하여 일차연립방정식의 각 미지수를 직접 구한다. 둘째, 소행렬식과 여인수, 수반행렬의 관계를 이해하고 행렬식으로 역행렬을 계산한다. 셋째, 역행렬을 이용하여 행렬방정식 AX=B의 유일한 해를 구한다. 강의 후반에는 행렬식의 기하학적 활용으로 삼각형의 면적 계산을 다룬다.

학습 목표

• 크래머 공식을 이용하여 일차연립방정식을 풀 수 있다.
• 행렬식과 수반행렬을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.
• 행렬식과 역행렬을 이용하여 AX=B의 해를 구할 수 있다.
• 행렬식을 이용하여 세 점으로 이루어진 삼각형의 면적을 구할 수 있다.

이 강의는 앞서 학습한 행렬식의 정의와 성질, 기본행연산, 정칙행렬의 개념을 한데 묶는 역할을 한다. 특히 |A|≠0이라는 조건은 크래머 공식, 역행렬의 존재, 연립방정식의 유일해를 연결하는 공통 열쇠다.

제2장 크래머 공식

1. 크래머 공식의 의미

크래머 공식은 방정식의 수와 미지수의 수가 같은 일차연립방정식에서 행렬식을 이용하여 각 미지수의 값을 구하는 방법이다. 연립방정식을 행렬방정식 AX=B로 나타냈을 때, 계수행렬 A가 정방행렬이고 그 행렬식이 0이 아니면 각 해를 행렬식의 비로 계산할 수 있다.

크래머 공식

x_j = |A_j| / |A|    (j=1,2,...,n)

여기서 A_j는 계수행렬 A의 j번째 열을 상수항 열벡터 B로 바꾼 행렬이다. 따라서 x₁을 구할 때는 첫 번째 열을 B로 바꾸고, x₂를 구할 때는 두 번째 열을 B로 바꾸는 방식으로 진행한다.

2. 적용 조건

크래머 공식을 사용하려면 계수행렬 A의 행렬식이 0이 아니어야 한다. |A|≠0이면 A는 정칙행렬이고 역행렬이 존재하며, AX=B는 유일한 해를 갖는다. 반대로 |A|=0이면 공식의 분모가 0이 되므로 크래머 공식으로 유일한 해를 계산할 수 없다.

주의: |A|=0이라는 사실만으로 해가 전혀 없다고 단정할 수는 없다. 다만 이 강의에서 다루는 크래머 공식과 역행렬 방법으로는 유일한 해를 구할 수 없다는 뜻이다.

3. 크래머 공식의 계산 절차

1. 연립방정식에서 계수행렬 A와 상수항 벡터 B를 구성한다.
2. |A|를 계산하고 0이 아닌지 확인한다.
3. 각 미지수 x_j에 대해 A의 j번째 열을 B로 바꾼 A_j를 만든다.
4. |A_j|를 계산한다.
5. x_j=|A_j|/|A|를 적용한다.

4. 예제 6.1

다음 연립방정식을 생각해 보자.

2x₁ + x₂ - x₃ = 3
x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 1
x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2

계수행렬 A의 행렬식은 5이다. 첫 번째, 두 번째, 세 번째 열을 각각 B로 바꾼 행렬의 행렬식을 구하여 크래머 공식을 적용하면 다음과 같다.

미지수	계산	결과
x1	|A1| / |A| = 12 / 5	12/5
x2	|A2| / |A| = -5 / 5	-1
x3	|A3| / |A| = 4 / 5	4/5

따라서 유일한 해는 (x₁, x₂, x₃)=(12/5, -1, 4/5)이다.

제3장 소행렬식·여인수·수반행렬

1. 소행렬식

A=(a_ij)를 n차 정방행렬이라 하자. A의 i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻는 (n-1)차 정방행렬의 행렬식을 A의 (i,j) 소행렬식이라 하며, M_ij로 표시한다.

2. 여인수

A의 (i,j) 여인수 A_ij는 소행렬식 M_ij에 부호 인자 (-1)^i+j를 곱한 값이다.

A_ij = (-1)^i+jM_ij

여인수의 부호는 체스판 모양으로 번갈아 나타난다.

행	1열	2열	3열
1행	+	-	+
2행	-	+	-
3행	+	-	+

3. 여인수행렬과 수반행렬

모든 여인수 A_ij를 원래 위치에 배열한 행렬 B=(A_ij)를 여인수행렬이라 한다. 이 여인수행렬을 전치한 행렬이 수반행렬이며, adj A로 표시한다.

adj A = B^T = (A_ij)^T

수반행렬을 만들 때는 여인수행렬을 그대로 사용하는 것이 아니라 반드시 행과 열을 바꾸어 전치해야 한다. 이 지점은 계산 문제에서 자주 실수하는 부분이다.

4. 예제 6.3

강의에서는 다음 행렬을 사용하여 행렬식과 수반행렬을 구한다.

1	2	5
2	3	7
1	5	6

기본행연산을 적용하여 상삼각 형태로 바꾸면 행렬식은 |A|=8이 된다. 각 원소의 여인수를 구해 여인수행렬을 만든 뒤 전치하면 수반행렬은 다음과 같다.

-17	13	-1
-5	1	3
7	-3	-1

행렬식 계산 과정에 기본행연산을 사용할 때는 행 교환, 행의 상수배, 다른 행의 배를 더하는 연산이 행렬식에 미치는 영향을 구분해야 한다.

제4장 행렬식과 역행렬

1. 역행렬의 존재 조건

n차 정방행렬 A에 대해 |A|≠0이면 A는 정칙행렬이고 역행렬 A^-1이 존재한다. 이때 역행렬은 수반행렬과 행렬식으로 표현할 수 있다.

A^-1 = adj A / |A|

이 공식은 수반행렬의 모든 원소에 1/|A|를 곱한다는 뜻이다. 분모인 |A|가 0이면 공식 자체를 적용할 수 없으며 역행렬도 존재하지 않는다.

2. 역행렬을 구하는 두 가지 방법

방법	핵심 절차	특징
기본행연산 방법	[A | I]를 [I | A-1]로 변환	가우스-조르당 소거법과 연결된다.
행렬식 이용 방법	|A|와 adj A를 구한 뒤 A-1=adj A/|A| 적용	소행렬식과 여인수 계산이 필요하다.

3. 예제 6.5

다음 행렬의 역행렬을 행렬식과 수반행렬을 이용하여 구한다.

2	-2	1
3	2	0
1	-3	-5

여인수 전개를 이용하면 |A|=-61이고, 수반행렬은 다음과 같다.

-10	-13	-2
15	-11	3
-11	4	10

따라서 역행렬은 다음과 같이 정리된다.

A^-1 = (-1/61) · adj A

10/61	13/61	2/61
-15/61	11/61	-3/61
11/61	-4/61	-10/61

역행렬을 계산한 뒤에는 A·A^-1=I가 되는지 확인하면 부호나 전치 실수를 점검할 수 있다.

제5장 행렬방정식 AX=B의 해법

1. 유일한 해의 조건

정리 6.3에 따르면 일차연립방정식 AX=B는 |A|≠0일 때 유일한 해를 가지며, 그 해는 X=A^-1B이다. 이는 A가 정칙행렬이면 역행렬이 존재한다는 사실과 연결된다.

|A|≠0 ⇒ A^-1 존재 ⇒ X=A^-1B

2. 계산 절차

1. 계수행렬 A의 행렬식 |A|를 구한다.
2. |A|가 0이 아님을 확인한다.
3. A의 여인수행렬을 구하고 전치하여 adj A를 만든다.
4. A^-1=adj A/|A|를 계산한다.
5. X=A^-1B를 계산한다.

행렬곱은 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않으므로 X=BA^-1로 순서를 바꾸면 안 된다. AX=B의 왼쪽에서 A^-1을 곱해야 한다.

3. 강의 연습문제

강의 말미에는 다음 연립방정식을 역행렬로 풀도록 제시한다.

2x + 3y - z = 1
4x + 4y - 3z = -1
-2x + 3y - z = 0

계수행렬의 행렬식은 20이므로 유일한 해가 존재한다. 역행렬을 이용하여 계산하면 다음 결과를 얻는다.

x=1/4,   y=7/10,   z=8/5

제6장 행렬식을 이용한 삼각형의 면적

1. 평행사변형과 행렬식

두 벡터 (a,b), (c,d)가 만드는 평행사변형의 넓이는 2×2 행렬식의 절댓값 |ad-bc|와 같다. 행렬식의 부호는 두 벡터의 배치 방향에 따라 달라질 수 있지만, 넓이는 항상 0 이상이므로 절댓값을 사용한다.

2. 세 점으로 이루어진 삼각형

세 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)이 주어졌을 때 삼각형의 면적은 다음 식으로 구한다.

삼각형의 면적 = 1/2 × | det [[x₁, y₁, 1], [x₂, y₂, 1], [x₃, y₃, 1]] |

마지막 열을 모두 1로 두는 이유는 세 점의 위치를 하나의 행렬식으로 표현하기 위해서다. 계산 결과가 음수여도 절댓값을 취한 뒤 1/2을 곱한다.

3. 예제: A=(2,1), B=(1,5), C=(4,3)

세 점을 행으로 배열하면 행렬식은 -10이 된다. 따라서 삼각형의 면적은 |-10|/2=5이다.

같은 결과는 한 점 A를 원점으로 평행이동하여 B-A=(-1,4), C-A=(2,2)를 만든 뒤, 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이 10을 구하고 절반을 취해도 얻을 수 있다.

4. 추가 예제: A=(5,6), B=(2,1), C=(6,3)

3×3 행렬식을 계산하면 절댓값은 14이므로 삼각형의 면적은 7이다. 이처럼 좌표가 주어진 삼각형 문제에서는 행렬식의 절댓값과 1/2을 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.

제7장 핵심 개념 비교와 계산 실수 점검

개념	핵심 식	주의점
크래머 공식	xj=|Aj|/|A|	Aj는 j번째 열을 B로 교체한다.
여인수	Aij=(-1)i+jMij	부호 배열을 정확히 적용한다.
수반행렬	adj A=(Aij)T	여인수행렬을 반드시 전치한다.
역행렬	A-1=adj A/|A|	|A|≠0일 때만 가능하다.
행렬방정식	X=A-1B	곱셈 순서를 바꾸지 않는다.
삼각형 면적	1/2 × |3×3 행렬식|	절댓값과 1/2을 모두 적용한다.

자주 발생하는 실수

• 크래머 공식에서 행이 아니라 열을 바꿔야 한다는 점을 놓치는 경우
• 여인수의 (-1)^i+j 부호를 빠뜨리는 경우
• 여인수행렬을 전치하지 않고 수반행렬로 사용하는 경우
• |A|=0인데도 역행렬 공식을 적용하는 경우
• X=A^-1B를 X=BA^-1로 바꾸는 경우
• 삼각형 면적에서 절댓값 또는 1/2을 누락하는 경우

핵심 개념 정리

• 크래머 공식은 |A|≠0인 정방형 연립방정식에서 x_j=|A_j|/|A|로 각 해를 구한다.
• 소행렬식 M_ij는 i번째 행과 j번째 열을 제거한 소행렬의 행렬식이다.
• 여인수 A_ij는 (-1)^i+jM_ij이다.
• 수반행렬 adj A는 여인수행렬을 전치한 행렬이다.
• |A|≠0이면 A^-1=adj A/|A|이다.
• AX=B의 유일한 해는 X=A^-1B이다.
• 삼각형의 면적은 세 좌표와 1로 구성한 3×3 행렬식의 절댓값에 1/2을 곱하여 구한다.

최종 정리: 제6강의 모든 내용은 |A|≠0이라는 조건을 중심으로 연결된다. 이 조건이 성립하면 크래머 공식으로 각 미지수를 구할 수 있고, 수반행렬을 이용해 역행렬을 만들 수 있으며, AX=B는 유일한 해 X=A^-1B를 갖는다. 행렬식은 대수적 계산을 넘어 좌표평면에서 넓이를 구하는 도구로도 활용된다.

예상문제 20선

1. 크래머 공식을 적용하여 일차연립방정식의 유일한 해를 구할 수 있는 조건으로 옳은 것은?

① 계수행렬이 영행렬이어야 한다. ② 계수행렬의 행렬식이 0이 아니어야 한다. ③ 미지수의 수가 방정식의 수보다 많아야 한다. ④ 상수항이 모두 0이어야 한다.

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정답: ②
계수행렬 A의 행렬식 |A|가 0이 아니면 A는 정칙행렬이며, 연립방정식은 유일한 해를 갖는다.

2. 크래머 공식에서 x_j를 구하기 위해 사용하는 A_j에 대한 설명으로 옳은 것은?

① A의 j번째 행을 상수항 열벡터로 바꾼 행렬이다. ② A의 모든 원소에 상수항을 더한 행렬이다. ③ A의 전치행렬에서 j번째 열을 제거한 행렬이다. ④ A의 j번째 열을 상수항 열벡터로 바꾼 행렬이다.

정답입니다.

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정답: ④
A_j는 계수행렬 A의 j번째 열을 상수항 벡터 B로 바꾼 행렬이다.

3. 크래머 공식으로 x_j를 나타낸 식은?

① x_j = |A_j| / |A| ② x_j = |A| / |A_j| ③ x_j = |A| + |A_j| ④ x_j = |A_j| - |A|

정답입니다.

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정답: ①
크래머 공식은 x_j = |A_j| / |A|로 나타낸다.

4. 다음 중 A의 (i, j) 여인수 A_ij를 올바르게 나타낸 것은?

① A_ij = M_ij ② A_ij = (-1)^(ij)M_ij ③ A_ij = (-1)^(i+j)M_ij ④ A_ij = M_ji

정답입니다.

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정답: ③
여인수는 소행렬식에 부호 인자 (-1)^(i+j)를 곱한 값이다.

5. A의 수반행렬 adj A에 대한 설명으로 옳은 것은?

① A의 역행렬과 항상 같다. ② A의 여인수행렬을 전치한 행렬이다. ③ A의 각 원소를 제곱한 행렬이다. ④ A의 행과 열을 모두 제거한 행렬이다.

정답입니다.

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정답: ②
수반행렬은 여인수행렬 B=(A_ij)의 전치행렬 B^T이다.

6. 정방행렬 A의 역행렬을 행렬식과 수반행렬로 나타낸 식은?

① A^-1 = adj A / |A| ② A^-1 = |A| adj A ③ A^-1 = A / |A| ④ A^-1 = |A| / adj A

정답입니다.

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정답: ①
|A|가 0이 아닐 때 A^-1 = adj A / |A|이다.

7. |A|=0인 정방행렬 A에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

① 반드시 단위행렬이다. ② 항상 수반행렬이 존재하지 않는다. ③ 모든 연립방정식 AX=B가 유일한 해를 갖는다. ④ A의 역행렬이 존재하지 않는다.

정답입니다.

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정답: ④
|A|=0이면 A는 특이행렬이므로 역행렬이 존재하지 않는다.

8. 행렬방정식 AX=B에서 A가 정칙행렬일 때 해 X는?

① X=BA^-1 ② X=AB ③ X=A^-1B ④ X=B^-1A

정답입니다.

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정답: ③
AX=B의 양변 왼쪽에 A^-1을 곱하면 X=A^-1B가 된다. 행렬곱은 순서가 중요하다.

9. A=(a_ij)가 n차 정방행렬일 때 M_ij의 의미는?

① a_ij 자체의 값 ② A의 i번째 행과 j번째 열의 합 ③ A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻은 소행렬의 행렬식 ④ A의 전치행렬의 행렬식

정답입니다.

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정답: ③
M_ij는 A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거한 소행렬의 행렬식이다.

10. 강의 예제의 연립방정식 2x1+x2-x3=3, x1+3x2+2x3=1, x1+2x2+2x3=2의 해 중 x2는?

① -1 ② 1 ③ 4/5 ④ 12/5

정답입니다.

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정답: ①
강의의 크래머 공식 계산 결과는 x1=12/5, x2=-1, x3=4/5이다.

11. 행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 절차로 가장 알맞은 것은?

① adj A를 구한 뒤 |A|=0으로 만든다. ② |A|와 adj A를 구한 뒤 A^-1=adj A/|A|를 계산한다. ③ A와 B를 곱한 뒤 전치한다. ④ 각 행을 모두 더해 단위행렬을 만든다.

정답입니다.

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정답: ②
먼저 |A|가 0이 아닌지 확인하고, 수반행렬 adj A를 구한 뒤 공식에 대입한다.

12. 강의의 행렬 A=[[1,2,5],[2,3,7],[1,5,6]]의 행렬식 값은?

① -8 ② -1 ③ 1 ④ 8

정답입니다.

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정답: ④
강의에서는 기본행연산으로 상삼각 형태를 만든 뒤 대각원소의 곱을 이용하여 |A|=8을 얻었다.

13. 정리 6.3의 내용으로 옳은 것은?

① |A|≠0이면 AX=B는 유일한 해 X=A^-1B를 갖는다. ② |A|=0이면 AX=B는 항상 유일한 해를 갖는다. ③ AX=B의 해는 항상 X=BA^-1이다. ④ A가 정방행렬이 아니어도 크래머 공식을 그대로 적용한다.

정답입니다.

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정답: ①
정리 6.3은 |A|≠0일 때 AX=B가 유일한 해 X=A^-1B를 갖는다는 내용이다.

14. 삼각형의 세 꼭짓점이 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)일 때 면적 공식에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 3×3 행렬식의 값을 그대로 사용한다. ② 행렬식에 2를 곱하고 부호를 유지한다. ③ 좌표의 x값만으로 행렬식을 만든다. ④ 세 번째 열을 모두 1로 둔 3×3 행렬식의 절댓값에 1/2을 곱한다.

정답입니다.

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정답: ④
삼각형의 면적은 좌표와 1로 구성한 3×3 행렬식의 절댓값에 1/2을 곱하여 구한다.

15. 세 점 A=(2,1), B=(1,5), C=(4,3)으로 이루어진 삼각형의 면적은?

① 10 ② 5 ③ -5 ④ 2

정답입니다.

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정답: ②
행렬식의 값은 -10이며, 절댓값을 취하고 1/2을 곱하면 면적은 5이다.

16. 삼각형 면적 계산에서 행렬식의 값이 음수로 나왔을 때 처리 방법은?

① 면적도 음수로 기록한다. ② 계산을 무효로 본다. ③ 절댓값을 취해 양수 면적으로 바꾼다. ④ 항상 0으로 바꾼다.

정답입니다.

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정답: ③
행렬식의 부호는 점을 나열한 방향에 따라 달라질 수 있으므로 면적에는 절댓값을 사용한다.

17. 다음 중 기본행연산을 이용한 역행렬 계산 방법을 올바르게 나타낸 것은?

① [A|I]를 [I|A^-1] 형태로 변환한다. ② [A|0]을 [0|A]로 변환한다. ③ A의 모든 행을 서로 바꾼다. ④ A의 행렬식만 계산하면 끝난다.

정답입니다.

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정답: ④
확대행렬 [A|I]에 기본행연산을 적용하여 왼쪽을 I로 만들면 오른쪽이 A^-1이 된다.

18. 강의 예제에서 A=[[2,-2,1],[3,2,0],[1,-3,-5]]의 행렬식은?

① 61 ② -61 ③ -13 ④ 13

정답입니다.

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정답: ②
강의의 여인수 전개 계산 결과 |A|=-61이다.

19. 세 점 A=(5,6), B=(2,1), C=(6,3)으로 이루어진 삼각형의 면적은?

① 14 ② 5 ③ 7 ④ 10

정답입니다.

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정답: ③
3×3 행렬식의 절댓값은 14이므로, 삼각형의 면적은 14/2=7이다.

20. 다음 중 크래머 공식의 특징을 가장 잘 설명한 것은?

① 방정식 수와 미지수 수가 같고 |A|≠0인 연립방정식에서 각 미지수를 행렬식의 비로 구한다. ② 모든 비선형방정식의 해를 구한다. ③ 행렬식이 0일 때만 사용할 수 있다. ④ 정방행렬이 아닌 계수행렬에만 사용한다.

정답입니다.

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정답: ①
크래머 공식은 정방형 계수행렬을 갖고 행렬식이 0이 아닌 연립방정식에서 각 해를 행렬식의 비로 구하는 방법이다.