방송대 선형대수 6강: 크래머 공식과 수반행렬
행렬식은 단순히 하나의 수를 계산하는 데서 끝나지 않습니다. 값이 0인지에 따라 연립방정식의 유일해를 판정하고, 열을 바꾸면 개별 미지수를 구하며, 여인수를 배열하면 역행렬을 만들고, 좌표에 적용하면 삼각형의 넓이까지 계산합니다. 이 글은 이 네 역할을 하나의 연결 구조로 묶어 어떤 문제에서 어떤 계산 경로를 선택해야 하는지 보여 줍니다.
행렬식 하나가 세 갈래 계산의 출발점이 된다
일차연립방정식을 AX=B로 나타내면 계수행렬 A의 행렬식 |A|가 첫 번째 갈림길을 만듭니다. |A|≠0이면 A는 역행렬을 가지며 연립방정식에는 유일한 해가 있습니다. 이때 해를 구하는 길은 각 미지수를 바로 계산하는 크래머 공식과, 역행렬을 구해 X=A-1B를 계산하는 방법으로 나뉩니다.
| 해결하려는 문제 | 행렬식이 하는 일 | 핵심 계산 | 완성 조건 |
|---|---|---|---|
| 미지수 하나씩 구하기 | 공통 분모와 열 교체 행렬의 값 | xj=|Aj|/|A| | |A|≠0 |
| 역행렬 만들기 | 수반행렬을 나누는 값 | A-1=adjA/|A| | |A|≠0 |
| 연립방정식 전체 풀기 | 유일해 존재 여부를 판정 | X=A-1B | AX=B로 검산 |
| 세 점의 삼각형 넓이 | 방향을 포함한 평행사변형의 넓이 | 행렬식 절댓값의 1/2 | 결과를 음수가 아닌 값으로 표현 |
세 계산은 서로 다른 공식처럼 보이지만 공통 원리는 같습니다. 행렬식이 0이면 행이나 열이 만드는 방향이 독립적인 넓이 또는 부피를 만들지 못하며, 역행렬 공식의 분모도 0이 됩니다. 따라서 문제를 읽자마자 공식을 고르기 전에 정방행렬인지, 그리고 |A|가 0이 아닌지를 먼저 확인해야 합니다.
첫 판단: 크래머 공식과 수반행렬을 이용한 역행렬 공식은 모두 |A|로 나눕니다. |A|=0이면 두 공식을 억지로 진행하지 말고, 이 방법으로는 유일해를 얻을 수 없다고 판정합니다.
크래머 공식은 미지수의 자리에 상수열을 넣는다
n개의 방정식과 n개의 미지수를 가진 연립방정식 AX=B에서 |A|≠0이라 합시다. Aj는 계수행렬 A의 j번째 열만 상수열 B로 바꾼 행렬입니다. 그러면 j번째 미지수는 xj=|Aj|/|A|로 구합니다.
열을 바꾸는 이유는 각 열이 각각 x1, x2, …의 계수를 담고 있기 때문입니다. x2를 구하면서 둘째 행을 바꾸면 방정식 하나를 다른 식으로 바꾸는 셈이 되어 크래머 공식이 아닙니다. 상수열은 항상 세로로 들어가며, 구하려는 미지수와 같은 번호의 열을 대체합니다.
| 구할 값 | 바꾸는 곳 | 그대로 두는 곳 | 분자 |
|---|---|---|---|
| x1 | A의 첫째 열을 B로 교체 | 둘째 열부터 마지막 열 | |A1| |
| x2 | A의 둘째 열을 B로 교체 | 첫째 열과 셋째 열 이후 | |A2| |
| xj | A의 j번째 열을 B로 교체 | 나머지 모든 열 | |Aj| |
강의자료의 3원 연립방정식은 계수행렬의 행렬식이 5이고, 세 열을 차례로 상수열로 바꾼 행렬식이 12, -5, 4입니다. 따라서 해는 x1=12/5, x2=-1, x3=4/5입니다. 세 분모가 모두 같은 이유는 원래 계수행렬 A의 행렬식을 사용하기 때문입니다.
작은 연립방정식으로 두 해법을 한 번에 검산한다
학습을 위해 직접 구성한 연립방정식 3x+y=7, 2x+y=5를 사용해 크래머 공식과 역행렬 해법을 연결해 봅시다. 계수행렬과 상수열은 A=[[3,1],[2,1]], B=[[7],[5]]입니다. 먼저 |A|=3×1-1×2=1이므로 유일해가 있고 두 공식을 모두 사용할 수 있습니다.
- x를 구하려고 첫째 열을 B로 바꾸면
A₁=[[7,1],[5,1]]이고 |A1|=7-5=2입니다. - y를 구하려고 둘째 열을 B로 바꾸면
A₂=[[3,7],[2,5]]이고 |A2|=15-14=1입니다. - 따라서 x=2/1=2, y=1/1=1입니다.
같은 문제를 역행렬로 풀면 2×2 행렬의 수반행렬은 adjA=[[1,-1],[-2,3]]이고 |A|=1이므로 A-1=adjA입니다. A⁻¹B=[[1,-1],[-2,3]][[7],[5]]=[[2],[1]]이 되어 같은 해를 얻습니다. 마지막으로 원래 식에 대입하면 3×2+1=7, 2×2+1=5이므로 두 방정식을 모두 만족합니다.
교차검산의 가치: 크래머 공식은 열 교체를, 역행렬 방법은 수반행렬의 전치와 행렬 곱을 점검하게 합니다. 두 결과가 다르면 답을 평균내는 것이 아니라 열 번호, 여인수 부호, 전치, 마지막 행렬 곱을 순서대로 다시 확인해야 합니다.
소행렬식에서 수반행렬까지는 세 번의 변환이다
A=(aij)가 n차 정방행렬일 때, i행과 j열을 지운 소행렬의 행렬식을 소행렬식 Mij라고 합니다. 여기에 위치에 따른 부호를 붙인 여인수는 Cij=(-1)i+jMij입니다. 강의자료에서는 여인수를 Aij로 표기하지만, 여기서는 원래 원소 aij와 구별하기 위해 Cij로 병기합니다.
여인수 부호는 첫 행이 +, -, +로 시작하고 다음 행에서는 -, +, -로 바뀌는 체스판 모양입니다. 3×3에서는 [[+,-,+],[-,+,-],[+,-,+]]입니다. 소행렬식을 계산한 값 자체가 음수일 수도 있으므로, 위치 부호와 소행렬식의 계산 부호를 따로 적은 뒤 곱해야 이중 부호 오류를 줄일 수 있습니다.
모든 여인수를 원래 위치에 배열하면 여인수행렬 C=(Cij)가 됩니다. 수반행렬은 여기서 한 번 더 전치한 adjA=CT입니다. 즉 계산 흐름은 ‘행·열 삭제 → 위치 부호 적용 → 여인수행렬 전치’입니다. 여인수행렬을 구한 뒤 전치를 생략하는 실수가 가장 흔하므로, 마지막에 (1,2)와 (2,1) 위치가 맞바뀌었는지 확인합니다.
세 번의 변환: Mij는 삭제 후 행렬식, Cij는 위치 부호를 반영한 값, adjA는 이 여인수들을 전치해 배열한 행렬입니다. 셋은 이름만 다른 같은 대상이 아닙니다.
수반행렬은 곱셈으로 검산할 수 있다
강의자료의 행렬 A=[[1,2,5],[2,3,7],[1,5,6]]은 |A|=8입니다. 예를 들어 첫째 행의 여인수는 C11=3×6-7×5=-17, C12=-(2×6-7×1)=-5, C13=2×5-3×1=7입니다. 여인수행렬의 첫 행은 [-17,-5,7]이지만, 전치 후 수반행렬의 첫 열이 됩니다.
전체 수반행렬은 adjA=[[-17,13,-1],[-5,1,3],[7,-3,-1]]입니다. 이 결과를 다시 아홉 개의 여인수로 되짚지 않고도 A(adjA)=|A|I인지 확인할 수 있습니다. 예를 들어 곱의 (1,1) 원소는 1×(-17)+2×(-5)+5×7=8이고, (1,2) 원소는 1×13+2×1+5×(-3)=0입니다. 대각선은 8, 대각선 밖은 0이 되는 패턴이 나와야 합니다.
이 검산은 전치 누락을 찾는 데 특히 효과적입니다. 여인수행렬을 그대로 adjA라고 쓰면 개별 값은 모두 계산했더라도 위치가 잘못되어 A(adjA)가 8I가 되지 않습니다. 계산량이 많은 문제에서는 ‘값 검산’뿐 아니라 ‘배열 검산’이 필요합니다.
행렬식이 0이 아니면 수반행렬을 나누어 역행렬을 얻는다
n차 정방행렬 A에서 |A|≠0이면 A-1=(1/|A|)adjA입니다. 분모가 행렬의 각 원소가 아니라 스칼라 |A|이므로, 수반행렬의 모든 원소에 같은 값 1/|A|을 곱합니다. |A|=0이면 0으로 나눌 수 없고 역행렬도 존재하지 않습니다.
강의자료의 예 A=[[2,-2,1],[3,2,0],[1,-3,-5]]에서는 |A|=-61이고 adjA=[[-10,-13,-2],[15,-11,3],[-11,4,10]]입니다. 따라서 역행렬은 각 원소에 -1/61을 곱한 [[10/61,13/61,2/61],[-15/61,11/61,-3/61],[11/61,-4/61,-10/61]]입니다.
음수 행렬식은 역행렬이 없다는 뜻이 아닙니다. 0이 아닌지가 존재 조건이며, -61도 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다. 부호는 수반행렬 전체에 곱해져 각 원소의 부호를 바꿉니다. 완성 후 AA-1=I의 한두 원소를 계산하면 분모 부호나 전치 오류를 찾을 수 있습니다.
AX=B를 풀 때는 목표에 따라 경로를 선택한다
|A|≠0인 AX=B는 유일한 해 X=A-1B를 가집니다. 크래머 공식도 같은 조건에서 같은 해를 줍니다. 따라서 두 방법의 차이는 정답의 종류가 아니라 계산의 조직 방식에 있습니다.
| 상황 | 유리한 경로 | 주의할 계산 | 검산 |
|---|---|---|---|
| 특정 미지수 한두 개만 필요 | 크래머 공식 | 해당 번호의 열만 B로 교체 | 구한 값을 원래 방정식에 대입 |
| 역행렬 자체도 요구됨 | 수반행렬로 A-1 계산 | 여인수행렬의 전치와 |A|의 부호 | AA-1=I |
| 모든 미지수를 한꺼번에 표현 | X=A-1B | 행렬 곱의 순서를 유지 | AX가 B와 같은지 확인 |
| |A|=0 | 두 공식 사용 중지 | 0으로 나누지 않음 | 유일해가 없다는 범위까지만 판정 |
|A|=0이라는 사실만으로 해가 전혀 없다고 단정할 수는 없습니다. 이 강의의 공식이 보장하는 결론은 ‘유일한 해를 갖지 않는다’입니다. 실제로 해가 없을 수도 있고 여러 해가 있을 수도 있으므로, 두 경우를 구분하려면 다른 방식의 추가 판정이 필요합니다. 따라서 0인 행렬식을 만났을 때 ‘해 없음’으로 자동 번역하는 것은 조건을 과도하게 확대하는 오류입니다.
삼각형 넓이는 방향을 지우기 위해 절댓값을 취한다
세 점 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)가 만드는 삼각형의 넓이는 다음 행렬식 절댓값의 절반입니다.
Area = (1/2)|det([[x₁,y₁,1],[x₂,y₂,1],[x₃,y₃,1]])|
강의자료의 A=(2,1), B=(1,5), C=(4,3)에 적용하면 3×3 행렬식은 -10이고 넓이는 (1/2)×|-10|=5입니다. 점을 나열하는 방향을 바꾸면 행렬식 부호가 바뀔 수 있지만 같은 삼각형의 넓이는 바뀌지 않으므로 마지막에 절댓값을 취합니다.
한 점 A를 원점으로 평행이동해도 넓이는 변하지 않습니다. 그러면 B-A=(-1,4), C-A=(2,2)가 되고 평행사변형의 방향 넓이는 det([[-1,4],[2,2]])=-10입니다. 삼각형은 그 절반이므로 다시 5를 얻습니다. 3×3 공식과 2×2 차이벡터 공식은 서로 다른 넓이를 구하는 방법이 아니라 같은 구조를 두 방식으로 표현한 것입니다.
직접 점검: 강의자료의 연습점 A=(5,6), B=(2,1), C=(6,3)을 넣으면 방향 행렬식은 14이고 넓이는 7입니다. 결과가 -7로 나오더라도 계산 방향만 반대인 것이므로 넓이는 절댓값 7로 적습니다.
계산 오류는 값보다 위치와 순서에서 먼저 생긴다
- 존재 조건: 정방행렬인지 확인하고 |A|를 계산합니다. 0이면 크래머 공식과 수반행렬 역공식을 중지합니다.
- 열 교체: xj를 구할 때 j번째 행이 아니라 j번째 열을 B로 바꿉니다.
- 여인수 부호: 소행렬식과 (-1)i+j의 부호를 분리해 계산합니다.
- 전치: 여인수행렬을 구한 뒤 전치해야 수반행렬이 됩니다.
- 스칼라 분배: 1/|A|를 수반행렬의 모든 원소에 곱합니다.
- 결과 확인: 방정식은 AX=B, 역행렬은 AA-1=I, 넓이는 음수가 아닌지로 검산합니다.
강의의 연습문제 2x+3y-z=1, 4x+4y-3z=-1, -2x+3y-z=0도 이 순서를 적용할 수 있습니다. 계수행렬의 행렬식은 20으로 0이 아니며, 역행렬이나 크래머 공식으로 구한 해는 (x,y,z)=(1/4,7/10,8/5)입니다. 첫 식에 대입하면 1/2+21/10-8/5=1이 되어 계산을 확인할 수 있습니다.
핵심 개념 정리
- 공통 관문: |A|≠0은 크래머 공식, 수반행렬 역공식과 AX=B의 유일해를 연결합니다.
- 열 교체: xj의 분자는 계수행렬의 j번째 열을 상수열로 바꾼 행렬식입니다.
- 수반행렬: 소행렬식에 위치 부호를 적용해 여인수를 만들고, 여인수행렬을 전치해 얻습니다.
- 역행렬: adjA의 모든 원소를 |A|로 나누며, 행렬식이 음수여도 0만 아니면 존재합니다.
- 경로 선택: 개별 미지수는 크래머 공식, 역행렬까지 필요하면 수반행렬 공식, 전체 해는 A-1B로 조직할 수 있습니다.
- 삼각형 넓이: 세 좌표의 3×3 행렬식 또는 두 차이벡터의 2×2 행렬식에 절댓값을 취하고 절반으로 줄입니다.
새 문제에서는 먼저 |A|가 0인지 확인한 뒤 목표가 ‘특정 미지수’, ‘역행렬’, ‘전체 해’, ‘좌표 넓이’ 중 무엇인지 정합니다. 그다음 열 교체, 여인수의 부호와 전치, 역행렬 곱, 넓이의 절댓값 가운데 필요한 경로만 선택하고, 마지막에는 원래 식이나 항등행렬로 되돌아가 검산합니다. 이 순서가 행렬식을 여러 공식의 암기가 아니라 문제를 분기하고 다시 확인하는 도구로 바꾸어 줍니다.
예상문제 10선
1. 크래머 공식을 이용해 AX=B의 유일한 해를 구할 수 있는 조건은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ②
- ① 오답: 원소 가운데 0이 있어도 행렬식이 0이 아닐 수 있으므로 개별 원소의 영 여부가 조건은 아니다.
- ② 정답: 방정식 수와 미지수 수가 같은 정방 계수행렬에서 분모 |A|가 0이 아니어야 각 비를 계산하고 유일해를 보장할 수 있다.
- ③ 오답: B의 원소 합은 크래머 공식의 분모나 역행렬 존재를 결정하지 않는다.
- ④ 오답: 행과 열의 수가 다르면 정방행렬의 행렬식을 분모로 사용하는 강의의 크래머 공식을 적용할 수 없다.
2. 3원 연립방정식에서 x2를 크래머 공식으로 구할 때 만드는 A2는?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ④
- ① 오답: 행을 바꾸면 하나의 방정식 계수 전체를 변경하므로 미지수의 계수열을 교체하는 규칙과 다르다.
- ② 오답: 첫째 열 교체는 x1의 분자 |A1|을 만들 때 사용한다.
- ③ 오답: 상수열은 한 열을 대체하며 기존 계수에 더하거나 여러 열을 동시에 바꾸지 않는다.
- ④ 정답: 둘째 열은 x2의 계수들을 담으므로 그 열을 B로 교체한 행렬식이 분자가 된다.
3. 3×3 행렬의 (2,3) 위치 여인수에 붙는 위치 부호는?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ③
- ① 오답: 여인수 부호는 행 번호만이 아니라 행과 열 번호의 합으로 정한다.
- ② 오답: 열 번호 하나의 홀짝만 보지 않고 i+j의 홀짝을 확인해야 한다.
- ③ 정답: 2+3=5가 홀수이므로 (-1)5=-1을 소행렬식에 곱한다.
- ④ 오답: 모든 위치의 여인수에 체스판 부호 규칙을 적용하며 대각선 위아래 여부로 생략하지 않는다.
4. 소행렬식, 여인수, 수반행렬의 관계를 바르게 설명한 것은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ①
- ① 정답: 행·열 삭제, (-1)i+j 적용, 여인수행렬 전치의 세 단계를 정확한 순서로 연결한다.
- ② 오답: 각 위치의 여인수를 모두 사용하며 주대각선 원소만 남기는 과정은 없다.
- ③ 오답: 행렬식으로 나누는 단계는 수반행렬이 아니라 역행렬을 만들 때 적용한다.
- ④ 오답: i+j가 홀수인 위치에서는 여인수가 소행렬식의 부호를 바꾼 값이다.
5. A=[[1,2,5],[2,3,7],[1,5,6]], |A|=8일 때 계산한 행렬 C가 adjA인지 확인하는 가장 직접적인 방법은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ③
- ① 오답: 수반행렬 원소의 합과 원래 행렬식 사이에는 이런 검산 조건이 없다.
- ② 오답: adjA의 주대각선이 |A|일 필요는 없고 곱한 결과의 대각선이 그 값이 된다.
- ③ 정답: 항등식 A(adjA)=|A|I를 사용하면 값과 전치 배열을 동시에 검사할 수 있다.
- ④ 오답: 수반행렬은 원래 행렬의 덧셈 역원이 아니므로 합이 영행렬이 되는 조건을 요구하지 않는다.
6. 어떤 정방행렬의 행렬식이 -61이라는 정보를 바르게 해석한 것은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ①
- ① 정답: 존재 여부는 행렬식이 0인지로 결정하고 실제 역행렬 계산에는 -61의 부호까지 포함한 역수를 사용한다.
- ② 오답: 음수도 0이 아니므로 나눗셈이 가능하며 역행렬 존재 조건을 만족한다.
- ③ 오답: 역행렬 공식은 행렬식의 절댓값이 아니라 부호를 포함한 |A| 자체로 나눈다.
- ④ 오답: 행렬식 값을 임의로 바꾸면 원래 행렬과 역행렬의 관계가 깨진다.
7. AX=B에서 |A|=0임을 알았을 때 이 강의 범위에서 바로 내릴 수 있는 결론은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ④
- ① 오답: 유일해를 보장하는 조건은 |A|≠0이며 현재 조건은 그 반대다.
- ② 오답: 행렬식 0이면 해가 없을 수도 있고 여러 개일 수도 있어 해 없음 하나로 확정할 수 없다.
- ③ 오답: 계수행렬의 행렬식이 0이라는 사실은 미지수의 구체적인 값을 0으로 정하지 않는다.
- ④ 정답: 두 공식 모두 |A|로 나누므로 적용할 수 없고 적어도 유일해는 보장되지 않는다.
8. 3x+y=7, 2x+y=5의 해는?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ②
- ① 오답: 첫 식에는 5, 둘째 식에는 4가 되어 두 상수 7과 5를 모두 만족하지 않는다.
- ② 정답: |A|=1, |A1|=2, |A2|=1이므로 x=2, y=1이고 두 식에 대입해도 일치한다.
- ③ 오답: 첫 식은 5가 되어 상수 7과 다르며 둘째 열 교체 행렬식의 부호를 잘못 해석한 값이다.
- ④ 오답: 첫 식과 둘째 식의 왼쪽 값이 각각 -5와 -3이 되어 원래 상수열과 맞지 않는다.
9. 세 점 A=(5,6), B=(2,1), C=(6,3)이 만드는 삼각형의 넓이는?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ④
- ① 오답: 좌표 행렬식의 절댓값 14는 대응하는 평행사변형 넓이이므로 삼각형에서는 절반으로 줄여야 한다.
- ② 오답: 방향 행렬식의 부호를 넓이에 남겼고 삼각형을 위한 1/2도 적용하지 않았다.
- ③ 오답: 절반 계산은 했지만 기하학적 넓이는 음수가 아니므로 절댓값을 취해야 한다.
- ④ 정답: 3×3 방향 행렬식이 14이므로 절댓값을 취하고 1/2을 곱해 넓이 7을 얻는다.
10. 수반행렬을 이용해 AX=B를 푸는 순서로 가장 적절한 것은?
정답입니다.
오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.
정답 및 해설 보기
정답: ③
- ① 오답: |A|=0이면 역행렬 공식을 적용할 수 없으며 수반행렬에 B를 곱하는 것만으로 해가 되지 않는다.
- ② 오답: 존재 조건은 B가 아니라 계수행렬 A의 행렬식으로 판단하고, 수반행렬에는 여인수행렬의 전치가 필요하다.
- ③ 정답: 역행렬 존재 확인, 수반행렬 구성, 스칼라 나눗셈, 오른쪽에서 B를 곱하는 순서를 모두 지킨다.
- ④ 오답: AB는 A-1B와 다르며 원래 계수행렬을 다시 곱하면 방정식을 푸는 연산이 되지 않는다.
참고 자료와 작성 기준
이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 개념 관계, 예제와 문제 해설은 학습자의 이해를 돕도록 구성하고 검토했습니다.
- 작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
- 주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과, 선형대수 6강 「크래머 공식과 역행렬」 강의자료(2025)
- 보충 자료: 별도의 외부 보충 자료를 사용하지 않음
- 편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
- 최종 내용 검토: 2026-08-26
댓글
댓글 쓰기