방송대 방통대 선형대수 5강 - 행렬식의 정의와 성질 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 5강 - 행렬식의 정의와 성질

이번 강의에서는 정방행렬에 하나의 실수를 대응시키는 행렬식의 정의와 계산 방법을 학습한다. 이어서 기본행연산이 행렬식에 미치는 영향, 삼각행렬과 기본행렬의 행렬식, 정칙행렬의 판별 조건과 행렬연산에 따른 행렬식의 변화를 체계적으로 정리한다.

제1장 행렬식의 개념과 학습 목표

행렬식은 정방행렬이 가진 여러 성질을 하나의 실수 값으로 드러내는 도구다. 2×2 행렬의 역행렬 공식에서 분모에 등장하는 ad-bc가 대표적인 행렬식이며, 이 값이 0이 아닌지는 행렬이 정칙행렬인지 판별하는 기준이 된다.

학습 목표

• 행렬식의 정의와 기호를 설명할 수 있다.
• 소행렬, 소행렬식, 여인수의 의미를 구분할 수 있다.
• 행 또는 열에 관한 여인수 전개로 행렬식을 계산할 수 있다.
• 기본행연산과 행렬식의 관계를 설명할 수 있다.
• 행렬곱, 역행렬, 스칼라배, 전치와 행렬식의 관계를 설명할 수 있다.
• |A|≠0이 정칙행렬의 필요충분조건임을 이해할 수 있다.

강의의 학습 내용은 5.1 행렬식, 5.2 행렬식의 성질, 5.3 행렬연산과 행렬식으로 구성된다. 각각은 별개의 주제가 아니라, 행렬식을 계산하고 변형하며 정칙성을 판별하는 하나의 흐름으로 이어진다.

제2장 행렬식의 정의

1. 행렬식이란 무엇인가

행렬식은 정방행렬 A에 실수 값 하나를 대응시키는 함수다. n차 정방행렬 전체의 집합에서 실수 집합으로 가는 함수라고 볼 수 있으며, det A, det(A), 또는 |A|로 나타낸다.

행렬식은 행렬 자체가 아니라 하나의 실수다. 따라서 |A|는 절댓값 기호와 모양이 비슷하지만, 문맥상 행렬 A의 행렬식을 의미한다.

2. 기하학적 의미

2차 행렬의 두 행 또는 두 열을 평면의 벡터로 보면, 행렬식의 절댓값은 이 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이에 해당한다. 3차 행렬에서는 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피와 연결된다. 행렬식이 0이면 벡터들이 한 직선이나 한 평면 안에 겹쳐져 넓이 또는 부피가 사라지는 상황으로 이해할 수 있다.

3. 1차와 2차 행렬식

1차 정방행렬 A=(a)의 행렬식은 그 원소 자체다.

|A|=a

2차 정방행렬 A=[[a,b],[c,d]]의 행렬식은 다음과 같다.

|A|=ad-bc

강의 예제 A=[[1,2],[-3,4]]에 적용하면 |A|=1·4-2·(-3)=10이다.

제3장 소행렬식과 여인수

1. 소행렬

A=(a_ij)를 n차 정방행렬이라 하자. A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻는 (n-1)차 정방행렬을 A의 (i,j) 소행렬이라 한다.

2. 소행렬식

(i,j) 소행렬의 행렬식을 소행렬식이라 하며 M_ij로 표시한다. 즉, 행과 열을 제거해 얻은 작은 정방행렬에 다시 행렬식을 적용한 값이다.

3. 여인수

A의 (i,j) 여인수 A_ij는 소행렬식에 위치에 따른 부호를 곱한 값이다.

A_ij=(-1)^i+jM_ij

여인수의 부호는 왼쪽 위에서 +로 시작하여 체스판처럼 번갈아 나타난다.

행	1열	2열	3열	4열
1행	+	-	+	-
2행	-	+	-	+
3행	+	-	+	-
4행	-	+	-	+

제4장 여인수 전개와 행렬식 계산

1. 귀납적 정의

n차 행렬식은 (n-1)차 행렬식과 연결하여 귀납적으로 정의한다. 첫째 행에 관한 여인수 전개를 사용하면 다음과 같다.

|A|=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+···+a_1nA_1n

이를 라플라스 전개라고도 한다. 각 항은 선택한 원소와 그 원소의 여인수를 곱한 것이다.

2. 임의의 행 또는 열에 관한 전개

행렬식은 첫째 행으로만 전개하는 것이 아니다. 정리 5.1에 따라 임의의 i번째 행이나 j번째 열을 선택하여 전개할 수 있다.

전개 기준	식
i번째 행	|A|=Σ aijAij (j=1,...,n)
j번째 열	|A|=Σ aijAij (i=1,...,n)

계산량을 줄이려면 0이 많이 포함된 행이나 열을 선택하는 것이 유리하다. 0인 원소와 여인수의 곱은 모두 0이 되기 때문이다.

3. 3차 행렬식의 첫째 행 전개

3차 정방행렬에서 첫째 행을 기준으로 전개하면 부호가 +, -, + 순서로 적용된다.

|A|=a₁₁M₁₁-a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃

4. 예제 5.1

강의에서는 0이 많이 있는 행이나 열을 선택하여 3차 행렬식을 빠르게 계산한다. 첫 번째 행렬은 둘째 행에 관한 전개를 이용하여 -3을 얻고, 두 번째 행렬은 셋째 열에 관한 전개를 이용하여 -2를 얻는다. 핵심은 특정 행이나 열에 얽매이지 않고 계산이 가장 단순한 방향을 고르는 것이다.

제5장 행렬식의 기본 성질

1. 영행을 갖는 행렬

n차 정방행렬 A가 영행을 가지면 |A|=0이다. 영행을 기준으로 여인수 전개하면 모든 항에 0이 곱해지기 때문이다.

2. 기본행연산과 행렬식

기본행연산은 행렬식에 서로 다른 방식으로 영향을 준다. 이 세 관계는 행렬식을 효율적으로 계산하는 데 가장 중요한 규칙이다.

기본행연산	행렬식의 변화
두 행을 서로 교환 Ri,j	|B|=-|A|
한 행에 c를 곱함 Ri(c)	|B|=c|A|
한 행의 c배를 다른 행에 더함 Ri,j(c)	|B|=|A|

행 교환은 부호를 뒤집고, 한 행의 상수배는 행렬식을 같은 비율로 바꾸며, 한 행의 배를 다른 행에 더하는 연산은 행렬식을 보존한다.

3. 예제에 나타난 변화

예제 5.3에서는 두 행을 바꾸어 행렬식의 부호가 바뀌는 것을 확인한다. 예제 5.4에서는 한 행을 3배하여 행렬식도 3배가 된다. 예제 5.5에서는 한 행의 배를 다른 행에 더한 뒤에도 행렬식이 그대로 유지됨을 이용하여 계산한다.

제6장 삼각행렬과 기본행렬의 행렬식

1. 삼각행렬

상삼각행렬과 하삼각행렬의 행렬식은 주대각원소의 곱이다.

|A|=a₁₁a₂₂···a_nn=∏a_ii

예를 들어 대각원소가 2,1,3인 하삼각행렬의 행렬식은 2·1·3=6이다. 대각원소가 2,1,5인 상삼각행렬의 행렬식은 10이다. 또한 A=sI_n이면 모든 대각원소가 s이므로 |A|=sⁿ이다.

2. 기본행렬

기본행연산을 단위행렬에 적용해 얻는 기본행렬의 행렬식은 해당 행연산의 효과와 정확히 대응한다.

기본행렬	의미	행렬식
Ei,j	두 행 교환	-1
Ei(c)	한 행에 c를 곱함	c
Ei,j(c)	한 행의 c배를 다른 행에 더함	1

제7장 행렬연산과 행렬식

1. 기본행렬의 곱

E가 기본행렬이면 |EA|=|E||A|가 성립한다. A와 B가 행상등이면 유한개의 기본행렬 E₁,...,E_k가 존재하여 행렬식 사이의 관계를 기본행렬의 행렬식 곱으로 나타낼 수 있다.

2. 정칙행렬의 판별

n차 정방행렬 A가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 |A|≠0이다.

A가 정칙행렬 ⇔ |A|≠0

강의의 기출문제에서는 매개변수 x가 포함된 3차 행렬을 기본행연산으로 단순화하여 |A|=x²-4x-4를 얻는다. 정칙행렬이 되려면 이 값이 0이 아니어야 하므로 x≠2±2√2이다.

3. 곱셈

n차 정방행렬 A와 B에 대해 다음이 성립한다.

|AB|=|A||B|

행렬곱은 일반적으로 AB≠BA이지만, 행렬식은 실수이므로 |AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|가 된다. 반면 덧셈에서는 일반적으로 |A+B|=|A|+|B|가 성립하지 않는다.

4. 역행렬·스칼라배·전치

연산	행렬식의 관계	조건
역행렬	|A-1|=1/|A|	A가 정칙행렬
스칼라배	|cA|=cn|A|	A는 n차 정방행렬
전치	|AT|=|A|	항상 성립

한 행에 c를 곱하면 행렬식이 c배지만, 행렬 전체에 c를 곱하는 cA는 n개의 모든 행에 c가 곱해진 것이므로 행렬식은 cⁿ배가 된다.

제8장 강의 연습문제

강의 마지막 연습문제에서는 다음 두 3차 정방행렬의 행렬식을 구한다.

행렬	원소	행렬식
A	[[1,2,1],[1,5,6],[1,2,3]]	6
B	[[1,4,7],[2,5,8],[0,3,6]]	0

A는 행렬식이 6이므로 정칙행렬이다. B는 행렬식이 0이므로 정칙행렬이 아니며 역행렬이 존재하지 않는다. 이 연습은 단순 계산을 넘어 행렬식이 정칙성을 판별하는 기준임을 확인하는 문제다.

핵심 개념 정리

• 행렬식은 정방행렬에 하나의 실수를 대응시키는 함수이며 det A 또는 |A|로 나타낸다.
• 소행렬은 특정 행과 열을 제거한 행렬이고, 소행렬식은 그 행렬의 행렬식이다.
• 여인수는 A_ij=(-1)^i+jM_ij이다.
• 행렬식은 임의의 행이나 열에 관한 여인수 전개로 계산할 수 있다.
• 행 교환은 부호를 바꾸고, 한 행의 c배는 행렬식을 c배하며, 한 행의 배를 다른 행에 더하는 연산은 행렬식을 보존한다.
• 삼각행렬의 행렬식은 주대각원소의 곱이다.
• |AB|=|A||B|, |A^-1|=1/|A|, |cA|=cⁿ|A|, |A^T|=|A|가 성립한다.
• A가 정칙행렬일 필요충분조건은 |A|≠0이다.

최종 정리: 제5강의 핵심은 행렬식을 단순 계산식이 아니라 행렬의 구조를 판별하는 값으로 이해하는 데 있다. 여인수 전개와 기본행연산을 이용하면 복잡한 행렬식도 효율적으로 계산할 수 있으며, 그 결과가 0인지 아닌지를 통해 역행렬의 존재와 정칙성을 판별할 수 있다.

예상문제 20선

1. 행렬식에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 임의의 직사각행렬에 행렬을 대응시키는 연산이다. ② 정방행렬에 하나의 실수를 대응시키는 함수이다. ③ 정방행렬에 항상 역행렬을 대응시킨다. ④ 행렬의 각 원소를 모두 더한 값이다.

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정답: ②
행렬식은 정방행렬에 하나의 실수 값을 대응시키는 함수이며 det A 또는 |A|로 나타낸다.

2. A의 (i,j) 소행렬에 대한 설명으로 옳은 것은?

① i번째 열과 j번째 행만 남긴 행렬이다. ② i번째 행과 j번째 열을 서로 바꾼 행렬이다. ③ i번째 행과 j번째 열을 0으로 만든 행렬이다. ④ i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻는 (n-1)차 정방행렬이다.

정답입니다.

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정답: ④
소행렬은 원래 행렬에서 지정된 행과 열을 제거하여 만든다.

3. A의 (i,j) 여인수 A_ij를 나타낸 식은?

① A_ij=(-1)^(i+j)M_ij ② A_ij=M_ij ③ A_ij=(-1)^(ij)M_ij ④ A_ij=M_ji

정답입니다.

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정답: ①
여인수는 소행렬식 M_ij에 부호 인자 (-1)^(i+j)를 곱한 값이다.

4. 3차 행렬식의 첫째 행 여인수 전개에서 부호 순서로 옳은 것은?

① -,+,- ② +,+,+ ③ +,-,+ ④ -,-,+

정답입니다.

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정답: ③
첫째 행의 여인수 부호는 +, -, + 순서다.

5. 행렬 A=[[1,2],[-3,4]]의 행렬식은?

① -10 ② 10 ③ 2 ④ 7

정답입니다.

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정답: ②
|A|=1·4-2·(-3)=10이다.

6. n차 정방행렬의 행렬식은 어느 행이나 열을 기준으로 전개해도 같은 값을 얻는다는 설명으로 옳은 것은?

① 임의의 행 또는 열에 관한 여인수 전개가 가능하다. ② 첫째 행으로만 전개할 수 있다. ③ 대각선 원소가 모두 0일 때만 가능하다. ④ 열 전개는 2차 행렬에만 가능하다.

정답입니다.

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정답: ①
행렬식은 어느 한 행 또는 어느 한 열을 선택하여 여인수 전개할 수 있다.

7. n차 정방행렬 A가 영행을 가지면 |A|는?

① 항상 1이다. ② 대각원소의 합이다. ③ 행의 개수와 같다. ④ 0이다.

정답입니다.

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정답: ④
영행의 모든 원소가 0이므로 그 행에 대한 여인수 전개 결과가 0이 된다.

8. 두 행을 서로 바꾸어 A에서 B를 만들었을 때 행렬식의 관계는?

① |B|=|A| ② |B|=2|A| ③ |B|=-|A| ④ |B|=0

정답입니다.

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정답: ③
두 행을 한 번 교환하면 행렬식의 부호가 바뀐다.

9. A의 한 행에 상수 c를 곱해 B를 만들었을 때 행렬식의 관계는?

① |B|=|A|+c ② |B|=|A| ③ |B|=c|A| ④ |B|=c^n|A|

정답입니다.

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정답: ③
한 행에만 c를 곱하면 행렬식 전체가 c배 된다.

10. 한 행의 c배를 다른 행에 더하는 기본행연산을 했을 때 행렬식은?

① 변하지 않는다. ② 부호가 바뀐다. ③ c배 된다. ④ 항상 0이 된다.

정답입니다.

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정답: ①
한 행의 배를 다른 행에 더하는 연산은 행렬식의 값을 바꾸지 않는다.

11. 삼각행렬의 행렬식 계산법으로 옳은 것은?

① 모든 원소의 합이다. ② 주대각원소의 곱이다. ③ 주대각원소의 합이다. ④ 첫 행 원소의 곱이다.

정답입니다.

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정답: ②
상삼각행렬이나 하삼각행렬의 행렬식은 주대각원소의 곱이다.

12. A=sI_n일 때 |A|는?

① s ② ns ③ s+n ④ s^n

정답입니다.

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정답: ④
대각원소가 모두 s인 삼각행렬이므로 |A|=s^n이다.

13. 행 교환에 대응하는 기본행렬 E_i,j의 행렬식은?

① -1 ② 0 ③ 1 ④ 2

정답입니다.

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정답: ①
단위행렬에서 두 행을 교환하면 행렬식의 부호가 한 번 바뀌므로 -1이다.

14. 한 행을 c배하는 기본행렬 E_i(c)의 행렬식은?

① 1/c ② 1 ③ c^n ④ c

정답입니다.

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정답: ④
단위행렬의 한 대각원소만 c가 되므로 행렬식은 c다.

15. 한 행의 c배를 다른 행에 더하는 기본행렬 E_i,j(c)의 행렬식은?

① c ② 1 ③ -1 ④ 0

정답입니다.

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정답: ②
이 기본행연산은 행렬식을 바꾸지 않으므로 대응 기본행렬의 행렬식은 1이다.

16. n차 정방행렬 A가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은?

① |A|=0 ② |A|=1 ③ |A|≠0 ④ |A|<0

정답입니다.

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정답: ③
정리 5.9에 따라 A가 정칙행렬일 필요충분조건은 |A|≠0이다.

17. n차 정방행렬 A와 B에 대해 항상 성립하는 것은?

① |A+B|=|A|+|B| ② |AB|=|A|+|B| ③ |AB|=|BA|=0 ④ |AB|=|A||B|

정답입니다.

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정답: ④
행렬곱의 행렬식은 각 행렬식의 곱과 같다.

18. A가 정칙행렬일 때 |A^-1|은?

① -|A| ② 1/|A| ③ |A| ④ |A|^n

정답입니다.

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정답: ②
|AA^-1|=|I|=1이므로 |A^-1|=1/|A|이다.

19. n차 정방행렬 A와 상수 c에 대해 |cA|는?

① c|A| ② nc|A| ③ c^n|A| ④ |A|^c

정답입니다.

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정답: ③
cA는 모든 n개 행에 각각 c가 곱해진 것이므로 행렬식은 c^n배 된다.

20. 전치행렬과 행렬식의 관계로 옳은 것은?

① |A^T|=|A| ② |A^T|=-|A| ③ |A^T|=1/|A| ④ |A^T|=0

정답입니다.

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정답: ①
행과 열을 바꾸어도 행렬식의 값은 변하지 않는다.