방송대 방통대 선형대수 14강 - 내적공간과 직교변환 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 14강 - 내적공간과 직교변환

일반 벡터공간의 내적에서 길이와 각을 정의하고, 직교벡터·단위직교집합·직교보공간의 구조를 살펴본다. 이어 직교행렬과 직교변환이 길이와 각을 보존하는 원리를 정리한다.

제1장 일반 벡터공간의 내적

1. 내적의 네 공리

실수 벡터공간 V에서 두 벡터 A,B에 실수 <A,B>를 대응시키는 관계가 대칭성, 덧셈에 대한 가법성, 실수배에 대한 동차성, 양의 정부호성을 만족하면 내적이라 한다. 즉 <A,B>=<B,A>, <A,B+C>=<A,B>+<A,C>, <kA,B>=k<A,B>이고 <A,A>≥0이며 <A,A>=0일 필요충분조건은 A=O이다.

내적이 정의된 벡터공간을 내적공간이라 하고 {V,<,>}로 표시한다. Rⁿ의 표준 점곱은 일반 내적의 대표 사례이며, 연속함수 공간에서는 <f,g>=∫f(x)g(x)dx 같은 적분식도 내적이 될 수 있다.

2. 길이, 코시-슈바르츠 부등식, 사이각

벡터 A의 노름은 ||A||=√<A,A>로 정의한다. 코시-슈바르츠 부등식 |<A,B>|≤||A||||B|| 덕분에 0이 아닌 A,B에 대해 -1≤<A,B>/(||A||||B||)≤1이므로 cosθ=<A,B>/(||A||||B||), 0≤θ≤π로 사이각을 정의할 수 있다.

구분: 내적은 실수이고 노름은 그 벡터 자기 자신과의 내적의 제곱근이다. 사이각 공식은 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때만 쓴다.

제2장 직교벡터와 직교보공간

1. 직교집합과 단위직교집합

<A,B>=0이면 두 벡터는 직교한다. 영벡터가 아닌 벡터들이 서로 직교하면 이들은 일차독립이다. 서로 직교인 영벡터 아닌 벡터들의 집합을 직교집합이라 하고, 각 벡터의 길이까지 1이면 단위직교집합이라 한다.

직교벡터 Aᵢ를 Bᵢ=Aᵢ/||Aᵢ||로 바꾸는 과정을 정규화라 한다. 정규화는 방향과 직교성을 유지하면서 길이만 1로 만든다. 예를 들어 (1,1,0), (-1,1,0), (0,0,1)은 서로 직교하며 앞의 두 벡터를 √2로 나누면 단위직교집합이 된다.

2. 직교보공간

V의 부분공간 U의 모든 벡터와 직교하는 벡터 전체의 집합을 U의 직교보공간 U^⊥라 한다. U^⊥={A∈V | 모든 B∈U에 대해 <A,B>=0}이다.

U^⊥는 V의 부분공간이고, U∩U^⊥={O}, (U^⊥)^⊥=U가 성립한다. A가 U의 모든 벡터와 직교하는지는 U의 기저벡터들과 직교하는지만 확인하면 충분하다.

제3장 직교행렬

1. 정의와 단위직교 열·행벡터

n차 정칙행렬 M이 M^-1=M^T를 만족하면 직교행렬이라 한다. 이는 M^TM=MM^T=I와 동치다. 또한 M이 직교행렬일 필요충분조건은 그 열벡터들이 단위직교집합인 것이며, 행벡터로 확인해도 같다.

2. 행렬식과 평면 변환

M이 직교행렬이면 |M|²=|M^TM|=1이므로 |M|=1 또는 -1이다. 2차 직교행렬에서 행렬식 1은 회전변환, -1은 대칭변환에 대응한다. 두 경우 모두 벡터의 길이를 보존한다.

구분	조건	기하학적 의미
직교행렬	MTM=I	열·행벡터가 단위직교
2차, |M|=1	방향 보존	회전
2차, |M|=-1	방향 반전	대칭

3. 대칭행렬의 직교대각화

실수 대칭행렬은 직교행렬에 의해 대각화된다. 고유벡터를 정규화해 직교행렬 P의 열로 놓으면 P^-1=P^T이고, M=PDP^T로 표현할 수 있다. 중복 고유값에서도 서로 직교하는 고유벡터를 선택하는 것이 핵심이다.

제4장 직교변환

1. 정의와 동치 조건

내적공간에서 선형변환 T가 모든 A에 대해 ||T(A)||=||A||를 만족하면 직교변환이라 한다. 이는 모든 A,B에 대해 <T(A),T(B)>=<A,B>인 것과 동치이며, 단위직교기저의 상이 단위직교집합이 되는 것과도 동치다.

유한차원에서 단위직교기저로 표현한 T의 행렬 M은 M^TM=I를 만족한다. 정의역과 공역의 차원이 같으면 M은 직교행렬이다.

2. 길이와 각의 보존

직교변환은 내적을 보존하므로 길이를 보존한다. 또한 cosθ 공식의 분자와 분모가 모두 보존되어 두 벡터 사이의 각도도 보존한다. 평면의 회전과 대칭은 모양을 찌그러뜨리지 않는 대표 직교변환이다.

핵심 개념 정리

내적은 대칭성·가법성·동차성·양의 정부호성을 만족하며 노름과 사이각을 정의한다. 직교인 영벡터 아닌 벡터들은 일차독립이고, 정규화하면 단위직교집합을 얻는다.

직교보공간은 한 부분공간의 모든 벡터와 직교하는 벡터들의 부분공간이다. 직교행렬은 M^-1=M^T이고 열과 행이 단위직교집합이며 행렬식은 ±1이다.

직교변환은 길이, 내적, 각을 보존한다. 같은 차원의 단위직교기저에서 표현한 행렬은 직교행렬이다.

최종 정리: 직교성은 내적이 0인 관계이고, 단위직교성은 여기에 길이 1을 더한 조건이다. M^TM=I를 확인하면 역행렬, 길이·각 보존, 회전·대칭 해석이 한 번에 연결된다.

예상문제 20선

1. 일반 실수 벡터공간의 내적 공리에 해당하는 것은?

① <A,A><0 ② <A,B>=<B,A> ③ <A,B+C>=<A,B+C>² ④ <A,A>=0이면 A≠O

정답입니다.

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정답: ②

내적은 대칭성을 만족하여 두 인수의 순서를 바꾸어도 값이 같다. 양의 정부호성 때문에 자기내적은 음수가 될 수 없고 0이면 영벡터다.

2. 벡터 A의 노름 정의는?

① <A,A> ② <A,O> ③ <A,A>² ④ √<A,A>

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

노름은 자기내적의 제곱근인 ||A||=√<A,A>로 정의한다. 자기내적 자체는 노름의 제곱이므로 두 값을 구별해야 한다.

3. 코시-슈바르츠 부등식은?

① |<A,B>|≤||A||||B|| ② |<A,B>|≥||A||||B|| ③ <A,B>=0 ④ ||A+B||=0

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

코시-슈바르츠 부등식은 내적의 절댓값을 두 노름의 곱으로 제한한다. 이 범위 덕분에 내적을 이용한 코사인과 사이각을 정의할 수 있다.

4. 0이 아닌 두 벡터 A,B가 직교할 조건은?

① ||A||=||B|| ② A=B ③ <A,B>=0 ④ <A,B>=1

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

직교는 두 벡터의 내적이 0인 관계로 정의한다. 길이가 같거나 내적이 1인 것은 직교의 필요조건이 아니다.

5. 서로 직교인 영벡터 아닌 벡터들의 성질은?

① 항상 종속 ② 항상 일차독립 ③ 항상 길이 1 ④ 항상 같은 방향

정답입니다.

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정답: ②

서로 직교인 영벡터 아닌 벡터들은 일차독립이다. 어떤 벡터와 내적을 취하면 그 벡터의 계수만 남아 모든 계수가 0임을 보일 수 있다.

6. 직교집합을 단위직교집합으로 만드는 방법은?

① 각 벡터를 자기 노름으로 나눈다 ② 모든 벡터를 더한다 ③ 영벡터를 추가한다 ④ 각 벡터를 제곱한다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

A_i를 ||A_i||로 나누는 정규화는 방향과 직교성을 유지하면서 길이를 1로 만든다. 영벡터는 나눌 수 없으므로 정규화 대상이 아니다.

7. 직교보공간 U⊥의 정의는?

① U와 같은 벡터 집합 ② U의 역원 집합 ③ 길이가 1인 벡터 집합 ④ U의 모든 벡터와 직교하는 벡터 집합

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

U⊥는 V 안에서 U의 모든 벡터와 내적이 0인 벡터들의 집합이다. 단순히 U 밖의 벡터나 길이 1인 벡터를 모은 집합이 아니다.

8. 직교보공간의 성질로 옳은 것은?

① U∩U⊥=U ② U⊥는 부분공간이 아니다 ③ U∩U⊥={O} ④ (U⊥)⊥={O}

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

벡터가 U와 U⊥에 동시에 속하면 자기 자신과도 직교하므로 영벡터여야 한다. 따라서 교집합은 {O}이고 U⊥도 V의 부분공간이다.

9. A가 U⊥에 속하는지 확인하는 효율적 방법은?

① U의 기저벡터들과 직교하는지 확인 ② A의 행렬식을 계산 ③ A의 좌표를 모두 1로 설정 ④ U의 원소 수만 계산

정답입니다.

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정답: ①

U의 모든 벡터는 기저의 일차결합이므로 기저벡터 각각과 내적이 0이면 U 전체와 직교한다. 모든 원소를 직접 조사할 필요가 없다.

10. 직교행렬 M의 정의와 동치인 식은?

① M²=0 ② M⁻¹=Mᵀ ③ M=M⁻¹=0 ④ |M|=0

정답입니다.

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정답: ②

직교행렬은 M⁻¹=Mᵀ를 만족하는 정칙행렬이다. 양변을 적절히 곱하면 MᵀM=I와 MMᵀ=I도 얻는다.

11. 직교행렬의 열벡터들이 이루는 것은?

① 영벡터 집합 ② 일차종속집합 ③ 임의의 직교집합 ④ 단위직교집합

정답입니다.

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정답: ④

MᵀM=I의 각 성분은 열벡터 사이의 내적이다. 대각은 1, 비대각은 0이므로 열벡터들은 단위직교집합을 이룬다.

12. 직교행렬 M의 행렬식으로 가능한 값은?

① 1 또는 -1 ② 0만 ③ 2 또는 -2 ④ 모든 실수

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

|MᵀM|=|M|²=1이므로 실수 행렬의 행렬식은 1 또는 -1이다. 0이면 정칙행렬이 아니므로 직교행렬일 수 없다.

13. 2차 직교행렬에서 |M|=-1이면 대응하는 것은?

① 확대변환 ② 전단변환 ③ 대칭변환 ④ 영변환

정답입니다.

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정답: ③

2차 직교행렬은 회전 또는 대칭에 대응하며 행렬식 -1은 방향을 뒤집는 대칭변환이다. 행렬식 1은 방향을 보존하는 회전이다.

14. 실수 대칭행렬에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 항상 영행렬이다 ② 역행렬이 없다 ③ 고유값이 모두 0이다 ④ 직교행렬로 대각화할 수 있다

정답입니다.

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정답: ④

실수 대칭행렬은 서로 직교하는 고유벡터들을 선택해 직교대각화할 수 있다. 정규화된 고유벡터를 P의 열로 두면 P⁻¹=Pᵀ다.

15. 직교변환 T의 정의는?

① 모든 A를 O로 보냄 ② 모든 A에 대해 ||T(A)||=||A|| ③ 행렬식을 0으로 만듦 ④ 벡터의 길이를 두 배로 함

정답입니다.

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정답: ②

직교변환은 모든 벡터의 길이를 보존하는 선형변환이다. 영변환이나 확대변환은 영벡터 이외의 길이를 보존하지 못한다.

16. 직교변환이 보존하는 양의 짝은?

① 차원과 행렬식만 ② 좌표와 원소 수 ③ 내적과 사이각 ④ 고유값과 고유벡터만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

직교변환은 내적을 보존하며 그 결과 노름과 코사인 공식도 보존한다. 따라서 두 벡터의 길이와 사이각이 모두 유지된다.

17. 단위직교기저 {A_i}에 대한 직교변환의 상은?

① 단위직교집합 ② 항상 영집합 ③ 일차종속집합 ④ 길이 2인 집합

정답입니다.

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정답: ①

직교변환은 내적을 보존하므로 기저벡터의 길이 1과 상호 내적 0을 그대로 유지한다. 따라서 상은 공역의 단위직교집합이다.

18. 2차 회전행렬의 행렬식은?

① 0 ② -2 ③ 2 ④ 1

정답입니다.

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정답: ④

표준 회전행렬의 행렬식은 cos²θ+sin²θ=1이다. 회전은 방향을 보존하므로 대칭변환의 -1과 구별된다.

19. 연속함수 공간에서 <f,g>=∫₀¹f(x)g(x)dx일 때 f=1, g=2x의 내적은?

① 2 ② 1 ③ 0 ④ 1/2

정답입니다.

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정답: ②

적분은 ∫₀¹2x dx=[x²]₀¹=1이다. 함수공간에서도 정의된 내적을 계산하면 벡터의 직교성과 사이각을 판단할 수 있다.

20. 직교행렬 M이 벡터 A의 길이를 보존하는 핵심 식은?

① M=0 ② MᵀM=0 ③ MᵀM=I ④ M²=-I

정답입니다.

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정답: ③

||MA||²=AᵀMᵀMA=AᵀA가 되려면 MᵀM=I를 사용한다. 이 식이 직교행렬의 역행렬이 전치행렬이라는 조건과 동치다.