방송대 방통대 선형대수 13강 - 행렬의 대각화와 응용 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 13강 - 행렬의 대각화와 응용

고유값과 고유벡터를 이용해 정방행렬을 대각행렬과 유사한 형태로 바꾸는 원리를 배운다. 대각화 가능 조건과 실제 절차를 익히고, 거듭제곱·피보나치 수열·인구이동 모형에 적용한다.

제1장 대각행렬과 대각화의 의미

고유값과 고유벡터 복습

n차 정방행렬 M에 대해 영벡터가 아닌 A가 MA=λA를 만족하면 λ는 고유값, A는 이에 대응하는 고유벡터다. 고유값은 특성방정식 |M-λI|=0의 해로 구하고, 각 고유값에 대해 (M-λI)A=O를 풀어 고유공간과 그 기저를 찾는다.

같은 고유값에 대응하는 고유벡터들의 일차결합은 영벡터가 아닌 한 다시 그 고유값의 고유벡터다. 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 일차독립이다.

대각행렬이 계산하기 쉬운 이유

연산	대각행렬에서의 결과
곱	대응하는 주대각원소끼리 곱함
행렬식	주대각원소의 곱
역행렬	0이 아닌 주대각원소를 각각 역수로 바꿈
고유값	주대각원소들
k제곱	각 주대각원소를 k제곱

따라서 복잡한 행렬 M을 대각행렬 D로 바꿀 수 있다면 큰 거듭제곱도 쉽게 계산할 수 있다.

유사행렬과 대각화

정칙행렬 P가 존재해 M=PNP^-1이면 M과 N을 유사행렬이라 한다. 특히 N=D가 대각행렬이면 M은 대각화 가능하다. 이는 기저를 고유벡터 기저로 바꾸었을 때 선형변환의 행렬이 대각행렬이 된다는 뜻이다.

M=PDP^-1이면 M^k=PD^kP^-1이다. 가운데의 P^-1P=I가 반복해서 소거되기 때문이다.

제2장 대각화 가능 조건

일차독립인 고유벡터의 개수

n차 정방행렬 M이 서로 일차독립인 고유벡터를 n개 가지면 대각화 가능하다. 역도 성립하므로 대각화 가능할 필요충분조건은 일차독립인 고유벡터가 차원만큼 존재하는 것이다.

특히 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 각 고유값의 고유벡터들이 자동으로 일차독립이므로 대각화 가능하다. 반대로 고유값이 반복된다고 해서 반드시 불가능한 것은 아니다. 반복된 고유값의 고유공간에서 충분한 수의 일차독립인 고유벡터를 얻는지가 핵심이다.

대각화가 불가능한 예

[[0,1],[0,0]]은 고유값 0만 가지며 일차독립인 고유벡터를 하나만 얻으므로 대각화할 수 없다. 또한 [[2,0],[1,2]]는 특성방정식 (2-λ)²=0으로 고유값 2가 중복되지만, (M-2I)A=O의 해가 span{(0,1)}뿐이므로 역시 독립 고유벡터가 하나밖에 없다.

판정 핵심: 서로 다른 고유값의 수만 세지 말고, 각 고유공간의 기저를 모두 모았을 때 총 n개의 일차독립 벡터가 되는지 확인한다.

제3장 행렬 대각화 절차

P와 D 만들기

1. 특성방정식 |M-λI|=0을 풀어 고유값을 구한다.
2. 각 λ에 대해 (M-λI)A=O를 풀어 고유벡터를 구한다.
3. 일차독립인 고유벡터가 n개인지 확인한다.
4. 선택한 고유벡터를 열로 놓아 P=(A₁ … Aₙ)를 만든다.
5. 같은 열 순서에 맞춰 D=diag(λ₁,…,λₙ)를 만든다.
6. MP=PD 또는 M=PDP^-1로 검산한다.

P의 열 순서를 바꾸면 D의 주대각 고유값 순서도 같은 방식으로 바꾸어야 한다. 일치하지 않으면 MP=PD가 성립하지 않는다.

삼각행렬 예

하삼각행렬의 고유값은 주대각원소다. 강의의 4×4 행렬은 고유값 2,4,3,1이 모두 달라 대각화 가능하다. 대응 고유벡터를 같은 순서로 열에 배치해 P를 만들고 D=diag(2,4,3,1)로 둔다.

거듭제곱 예

M=[[7,2],[-4,1]]은 P=[[1,1],[-1,-2]], D=diag(5,3), P^-1=[[2,1],[-1,-1]]로 대각화된다. 따라서 M¹⁰⁰=P diag(5¹⁰⁰,3¹⁰⁰)P^-1로 계산한다.

M=[[-1,-1],[0,1]]은 고유값 -1과 1을 가지므로 D¹⁰⁰=I이고, 결과적으로 M¹⁰⁰=I다.

제4장 피보나치 수열과 상태 전이 응용

점화식을 행렬식으로 바꾸기

피보나치 수열을 a₀=a₁=1, aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂로 두고 상태벡터 Aₙ=(aₙ,aₙ₋₁)^T를 정의하면 Aₙ=M Aₙ₋₁, M=[[1,1],[1,0]]이다. 따라서 Aₙ=M^n-1A₁이다.

M의 고유값은 λ₁=(1+√5)/2, λ₂=(1-√5)/2이며 서로 다르므로 대각화 가능하다. M=PDP^-1을 이용하면 M^n-1을 쉽게 구해 일반항을 얻는다.

강의의 초기값에 맞춘 일반항은 aₙ=(1/√5){((1+√5)/2)ⁿ⁺¹-((1-√5)/2)ⁿ⁺¹}이다. 이 식을 계산하면 a₁₂=233, a₂₄=75025를 얻는다.

인구이동 모형

매년 서울 인구의 5%가 인천으로, 인천 인구의 10%가 서울로 이동한다면 상태벡터은 (Sₖ,Iₖ)^T=A^k(S₀,I₀)^T, A=[[0.95,0.1],[0.05,0.9]]로 표현된다.

A의 고유값은 1과 0.85다. k가 커질수록 0.85^k→0이므로 장기적으로 서울과 인천 인구는 전체의 2/3과 1/3로 접근한다. 고유값 1의 방향은 보존되는 총인구를, 절댓값이 1보다 작은 고유값은 시간이 지나며 사라지는 일시적 차이를 나타낸다.

핵심 개념 정리

• 유사행렬은 M=PNP^-1로 연결되고, N이 대각행렬이면 M은 대각화 가능하다.
• 대각화 가능할 필요충분조건은 일차독립인 고유벡터가 행렬 차원만큼 존재하는 것이다.
• P의 열은 고유벡터, D의 같은 위치 주대각원소는 대응 고유값이다.
• M^k=PD^kP^-1이므로 큰 거듭제곱과 점화식을 효율적으로 계산한다.
• 피보나치 수열과 인구이동은 상태벡터의 반복 행렬 곱으로 모델링할 수 있다.

최종 정리: 대각화는 행렬을 바꾸는 것이 아니라 고유벡터 기저에서 같은 선형작용을 가장 단순한 대각형으로 표현하는 과정이다. 충분한 독립 고유벡터가 있을 때만 가능하다.

예상문제 20선

1. MA=λA에서 A에 필요한 조건은?

① A=O② A≠O③ |A|=0④ A는 반드시 단위행렬

정답입니다.

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정답: ②

영벡터는 모든 λ에 대해 식을 만족하므로 고유값을 구분하지 못한다. 고유벡터는 반드시 영벡터가 아니어야 한다.

2. 행렬 M의 고유값을 구하는 방정식은?

① |M-λI|=0② |M+λI|=1③ M+I=O④ Mλ=I

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

(M-λI)A=O가 비자명해를 가지려면 계수행렬이 정칙이 아니어야 하므로 행렬식이 0이다.

3. 대각행렬의 고유값은?

① 모든 원소의 합② 비대각원소③ 항상 0④ 주대각원소

정답입니다.

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정답: ④

특성방정식이 주대각의 (dᵢ-λ) 곱으로 분해되므로 각 dᵢ가 고유값이다.

4. D=diag(2,3)일 때 D⁵는?

① diag(10,15)② diag(32,243)③ diag(5,5)④ diag(6,6)

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

대각행렬의 거듭제곱은 각 주대각원소를 같은 지수로 제곱하므로 2⁵=32, 3⁵=243이다.

5. M과 N이 유사하다는 뜻은?

① M=N만 가능② M+N=I③ 어떤 정칙 P에 대해 M=PNP^-1④ MN=O

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

유사행렬은 정칙 기저변환 행렬 P를 사이에 둔 켤레 형태로 연결된다.

6. M이 대각화 가능하다는 뜻은?

① 어떤 대각행렬 D와 정칙 P에 대해 M=PDP^-1② M의 모든 원소가 0③ M은 반드시 대각행렬 자체④ M의 역행렬이 없음

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

M 자체가 대각행렬일 필요는 없고 어떤 기저에서 대각행렬 D로 표현되면 된다.

7. n차 행렬이 대각화 가능할 필요충분조건은?

① 고유값이 하나도 없음② 고유벡터가 하나만 있음③ 일차독립인 고유벡터가 n개④ 행렬식이 항상 1

정답입니다.

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정답: ③

고유벡터 n개가 기저를 이루어야 P가 정칙이 되고 대각형 표현이 가능하다.

8. n개의 서로 다른 고유값을 가진 n차 행렬은?

① 반드시 대각화 불가능② 영행렬이다③ 고유벡터가 없다④ 반드시 대각화 가능

정답입니다.

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정답: ④

서로 다른 고유값의 고유벡터는 일차독립이므로 n개의 고유값이 n개짜리 고유벡터 기저를 준다.

9. 반복 고유값을 가진 행렬에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 항상 대각화 불가능② 독립 고유벡터가 충분하면 대각화 가능③ 항상 영행렬④ P는 반드시 비정칙

정답입니다.

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정답: ②

중복 자체보다 고유공간들이 제공하는 독립 고유벡터의 총수가 n인지가 결정적이다.

10. M=[[2,0],[1,2]]가 대각화 불가능한 이유는?

① 고유값이 0이라서② 정방행렬이 아니라서③ 행렬식이 4라서④ 독립인 고유벡터가 하나뿐이라서

정답입니다.

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정답: ④

중복 고유값 2의 고유공간이 span{(0,1)}로 1차원이어서 2차원 기저를 만들지 못한다.

11. P를 구성하는 열벡터는?

① M의 일차독립인 고유벡터② M의 행벡터만③ 모두 영벡터④ D의 비대각원소

정답입니다.

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정답: ①

고유벡터를 열로 놓으면 MP의 각 열이 해당 고유값 배가 되어 MP=PD가 성립한다.

12. P의 열 순서를 바꾸면 함께 바꾸어야 하는 것은?

① M의 크기② D의 대응 고유값 순서③ 행렬의 차원④ 특성방정식의 차수

정답입니다.

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정답: ②

각 열의 고유벡터와 같은 위치의 D 주대각 고유값이 한 쌍이므로 순서를 함께 맞춰야 한다.

13. M=PDP^-1일 때 M^k는?

① P^kDP^-1② PD^kP③ PD^kP^-1④ D만 남음

정답입니다.

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정답: ③

인접한 P^-1P가 단위행렬로 소거되어 양끝 P와 P^-1, 가운데 D의 k제곱만 남는다.

14. 피보나치 상태전이 행렬은?

① [[1,0],[0,1]]② [[0,1],[0,0]]③ [[1,-1],[1,0]]④ [[1,1],[1,0]]

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

첫 행은 aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂를, 둘째 행은 다음 상태의 둘째 성분이 이전 aₙ₋₁임을 표현한다.

15. 피보나치 전이행렬의 두 고유값은?

① (1±√5)/2② 1과 1③ 0과 0④ ±√2

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

특성방정식 λ²-λ-1=0을 근의 공식으로 풀면 두 값이 나온다.

16. 강의의 피보나치 초기값에서 a₁₂는?

① 144② 200③ 233④ 377

정답입니다.

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정답: ③

강의는 a₀=a₁=1의 지수 배치를 사용하며 대각화 일반항에서 a₁₂=233을 얻는다.

17. 서울·인천 인구이동 행렬의 두 고유값은?

① 0과 0② 1과 0.85③ 0.95와 0.9④ 2와 1

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

고유값 1은 총인구 보존 방향을, 0.85는 해마다 줄어드는 도시 간 분포 차이를 나타낸다.

18. 인구이동 모형의 장기 서울 인구 비율은?

① 전체의 2/3② 전체의 1/3③ 전체의 1/2④ 0

정답입니다.

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정답: ①

0.85^k 항이 사라진 뒤 고유값 1의 정상분포가 남아 서울 2/3, 인천 1/3이 된다.

19. 장기 상태에서 0.85^k 항은 어떻게 되는가?

① 무한대로 증가② 항상 1③ -1로 수렴④ 0으로 수렴

정답입니다.

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정답: ④

절댓값이 1보다 작은 수의 거듭제곱은 지수가 커질수록 0에 가까워진다.

20. 대각화의 가장 적절한 해석은?

① 행렬 원소를 임의로 지움② 행렬 차원을 줄임③ 고유벡터 기저에서 같은 작용을 대각형으로 표현④ 모든 행렬을 단위행렬로 만듦

정답입니다.

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정답: ③

P는 고유벡터 기저변환을 나타내며 D는 그 기저에서 각 방향을 고유값만큼 늘리는 동일한 선형작용이다.