방송대 선형대수 13강: 행렬의 대각화와 거듭제곱

방송대 선형대수 13강: 행렬의 대각화와 거듭제곱

복잡한 행렬을 수십 번 곱하는 대신, 행렬이 가장 단순하게 작동하는 고유벡터 기저로 옮길 수 있다면 거듭제곱은 대각원소의 거듭제곱으로 바뀐다. 이 글은 대각화의 구조, 가능 여부의 판정, P와 D의 조립, 피보나치 수열과 장기 인구분포까지 하나의 변환 과정으로 연결한다.

거듭제곱 문제를 좌표계 선택 문제로 바꾼다

일반 행렬 M의 M¹⁰⁰을 직접 구하려면 같은 행렬을 계속 곱해야 한다. 반면 대각행렬 D는 곱할 때 대각 밖의 원소가 생기지 않으므로 D^k의 각 대각원소는 원래 대각원소의 k제곱이 된다.

대각화는 M과 같은 선형변환을 고유벡터로 이루어진 새 기저에서 대각행렬 D로 표현하는 작업이다. 정칙행렬 P와 대각행렬 D가 존재하여 다음이 성립하면 M은 대각화 가능하다고 한다.

M = PDP^-1

이때 거듭제곱 사이에 있는 P^-1P가 모두 단위행렬로 소거된다.

M^k = (PDP^-1)^k = PD^kP^-1

행렬	역할	열 또는 대각의 의미
P	고유벡터 좌표를 원래 좌표로 바꾼다.	열은 서로 일차독립인 고유벡터다.
D	고유벡터 방향별 배율만 적용한다.	대각원소는 P의 같은 열에 대응하는 고유값이다.
P-1	원래 좌표를 고유벡터 좌표로 바꾼다.	P와 반대 방향의 기저변환이다.
M	원래 좌표계에서 변환 전체를 수행한다.	PDP-1의 세 단계를 합성한 결과다.

해석 핵심: 오른쪽부터 읽으면 P^-1로 고유벡터 좌표에 들어가고, D로 방향별 크기를 바꾸고, P로 원래 좌표에 돌아온다.

MP = PD는 열마다 고유방정식을 모은 식이다

M의 서로 일차독립인 고유벡터를 v₁, ..., v_n, 대응하는 고유값을 λ₁, ..., λ_n이라고 하자. 고유방정식 Mv_i = λ_iv_i를 열별로 나란히 놓으면 대각화 공식의 출발점이 보인다.

M(v₁ ... v_n) = (λ₁v₁ ... λ_nv_n)

P = (v₁ ... v_n)이고 D의 대각을 λ₁, ..., λ_n으로 놓으면 오른쪽은 PD다. 따라서 MP = PD이고, P의 열이 일차독립이라 P^-1이 존재하므로 M = PDP^-1을 얻는다.

열 순서가 바뀌면 대각 순서도 함께 바뀐다

P의 첫째 열이 λ = 3의 고유벡터이고 둘째 열이 λ = 2의 고유벡터라면 D는 diag(3, 2)여야 한다. P의 열을 서로 바꾸는 것은 허용되지만, D의 대응하는 대각원소도 같이 바꿔야 한다. 그렇지 않으면 MP의 열 Mv_i와 PD의 열 λ_iv_i가 어긋난다.

강의의 2차 예에서 M의 첫째 행은 (3, 1), 둘째 행은 (0, 2)다. v₁ = (1, 0)^T는 λ₁ = 3, v₂ = (-1, 1)^T는 λ₂ = 2에 대응한다. 따라서 P의 두 열을 v₁, v₂로 놓고 D = diag(3, 2)로 두면 MP = PD가 성립한다.

대각화 결과 P와 D는 하나로 유일하지 않다. 고유벡터에 0이 아닌 상수를 곱하거나 열의 순서를 바꾸면 다른 P를 얻을 수 있다. 중요한 것은 P의 열과 D의 대각이 같은 순서로 대응하고 P가 정칙이라는 점이다.

대각화 가능성은 독립인 고유방향의 수가 결정한다

n차 정방행렬이 대각화 가능할 필요충분조건은 서로 일차독립인 고유벡터를 n개 갖는 것이다. P가 n개의 고유벡터를 열로 가져야 하므로, 독립인 방향이 부족하면 P가 특이행렬이 되어 P^-1을 만들 수 없다.

n개의 서로 다른 고유값을 가지면 각각의 고유벡터가 일차독립이므로 대각화 가능하다. 하지만 이것은 충분조건이지 필요조건은 아니다. 고유값이 반복되어도 각 고유공간에서 필요한 만큼 독립인 벡터를 얻으면 대각화할 수 있다.

상황	바로 내릴 수 있는 결론	추가 확인
n개의 서로 다른 고유값	대각화 가능	각 고유벡터를 구해 P를 조립한다.
고유값이 반복됨	가능·불가능을 아직 결정할 수 없음	고유공간 기저의 총개수를 센다.
독립인 고유벡터가 n개	대각화 가능	P의 열과 D의 대각을 대응시킨다.
독립인 고유벡터가 n개보다 적음	대각화 불가능	정칙인 고유벡터행렬 P를 만들 수 없다.

반복 고유값이 실패로 이어지는 예

행렬의 첫째 행이 (2, 0), 둘째 행이 (1, 2)인 경우 특성방정식은 (2 - λ)² = 0이다. λ = 2에서 (M - 2I)v = 0을 풀면 x = 0이고 y만 자유이므로 고유공간은 span{(0, 1)^T}이다. 2차 행렬에 독립인 고유벡터가 하나뿐이므로 대각화할 수 없다.

또한 첫째 행이 (0, 1), 둘째 행이 (0, 0)인 행렬도 고유값 0만 갖고 독립인 고유벡터가 하나뿐이다. 대각행렬과 닮았다고 가정하면 정칙이어야 할 P의 열들이 한 방향으로 무너지는 모순이 생긴다.

P와 D는 판정 뒤에 같은 순서로 조립한다

대각화 문제는 다음 과정으로 진행한다.

1. 특성방정식으로 고유값과 반복 횟수를 구한다.
2. 각 λ에 대해 (M - λI)v = 0을 풀어 고유공간의 기저를 구한다.
3. 모든 고유공간에서 얻은 독립인 고유벡터의 총수가 n인지 확인한다.
4. 선택한 고유벡터를 P의 열로 세운다.
5. 각 열의 고유값을 같은 위치의 D 대각원소에 놓는다.
6. det(P) ≠ 0과 MP = PD를 확인한다.

마지막 검산에서 M = PDP^-1을 직접 계산할 수도 있지만, MP = PD는 역행렬을 구하지 않고도 열 대응과 수치를 확인할 수 있어 더 간결하다.

실패 방지 질문: P의 j번째 열을 M에 곱한 결과가 D의 j번째 대각원소를 그 열에 곱한 것과 같은가? 이 질문 하나로 열 순서와 고유값 대응을 동시에 검산할 수 있다.

강의 연습문제로 반복 고유값의 대각화를 완성한다

강의 마지막 행렬 M은 세 행이 각각 (1, -1, 2), (0, 0, 2), (0, -1, 3)이다. 반복 고유값이 있지만 충분한 고유벡터를 얻을 수 있는지가 핵심이다.

고유값 찾기

det(M - λI)를 첫째 열로 전개하면 (1 - λ)[(-λ)(3 - λ) + 2]가 된다. 정리하면 -(λ - 1)²(λ - 2)이므로 고유값은 λ = 1과 λ = 2이고, λ = 1은 두 번 반복된다.

λ = 1의 고유공간

M - I의 세 행은 모두 같은 조건 -y + 2z = 0으로 줄어든다. 따라서 y = 2z이고 x와 z가 자유다.

E₁ = span{(1, 0, 0)^T, (0, 2, 1)^T}

반복된 고유값 1에서 독립인 고유벡터를 두 개 얻었다.

λ = 2의 고유공간

(M - 2I)v = 0을 풀면 y = z, x = y가 되어 x = y = z다.

E₂ = span{(1, 1, 1)^T}

P와 D 조립 및 검산

p₁ = (1, 0, 0)^T, p₂ = (0, 2, 1)^T, p₃ = (1, 1, 1)^T를 순서대로 열로 세운다. 그러면 P의 행은 (1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 1, 1)이고 det(P) = 1이어서 정칙이다. D = diag(1, 1, 2)로 둔다.

Mp₁ = p₁, Mp₂ = p₂, Mp₃ = 2p₃이므로 MP = PD가 성립한다. 따라서 주어진 행렬은 대각화 가능하고 M = PDP^-1이다.

이 예제는 “고유값이 반복되면 대각화 불가능하다”는 오개념을 바로잡는다. 반복 여부가 아니라 각 고유공간에서 확보한 독립인 고유벡터의 총수가 행렬 차원과 같은지가 결정 기준이다.

대각화는 큰 거듭제곱을 대각원소 계산으로 줄인다

강의 예제에서 M의 첫째 행은 (7, 2), 둘째 행은 (-4, 1)이고 고유값은 5와 3이다. 대응하는 고유벡터를 열로 둔 P의 행이 (1, 1), (-1, -2)라면 D = diag(5, 3)이고 M = PDP^-1이다.

따라서 M¹⁰⁰을 구할 때 99번의 일반 행렬곱을 수행하지 않는다. D¹⁰⁰ = diag(5¹⁰⁰, 3¹⁰⁰)을 만든 뒤 PD¹⁰⁰P^-1만 계산하면 된다.

또 다른 강의 예제의 행렬은 첫째 행 (-1, -1), 둘째 행 (0, 1)이다. 고유값이 -1과 1이므로 D¹⁰⁰ = diag(1, 1) = I다. 그 결과 M¹⁰⁰ = PIP^-1 = I가 된다. 지수가 홀수라면 (-1)의 홀수제곱이 -1이므로 같은 결론이 나오지 않는다는 점까지 확인해야 한다.

피보나치 점화식은 2차원 상태의 반복 변환이다

강의에서는 a₀ = a₁ = 1, a_n = a_n-1 + a_n-2로 피보나치 수열을 둔다. 현재 항 하나만으로는 다음 항을 만들 수 없으므로 상태를 A_n = (a_n, a_n-1)^T로 묶는다.

첫째 행이 (1, 1), 둘째 행이 (1, 0)인 행렬을 F라고 하면 A_n = FA_n-1이고 A_n = F^n-1A₁이다. F의 고유값은 다음 두 수다.

φ = (1 + √5)/2, ψ = (1 - √5)/2

서로 다른 두 고유값을 가지므로 F는 대각화 가능하다. F = PDP^-1을 이용하면 F^n-1 = PD^n-1P^-1이고, 정리한 일반항은 다음과 같다.

a_n = (φⁿ⁺¹ - ψⁿ⁺¹)/√5

직접 점화식으로 계산하면 a₁₂ = 233, a₂₄ = 75,025다. 강의자료 40쪽의 a₂₄ 값은 5,025로 표시되어 있으나, 제시된 점화식과 일반항에 따라 75,025가 맞다.

응용 구조: 점화식의 필요한 이전 항들을 상태벡터로 묶고 → 한 단계 전이행렬을 만든 뒤 → 행렬을 대각화하여 k번 반복을 대각원소의 k제곱으로 바꾼다.

인구이동 모형에서는 고유값이 장기 상태를 분리한다

강의의 학습용 모형은 매년 서울 인구의 5%가 인천으로, 인천 인구의 10%가 서울로 이동한다고 가정한다. 상태를 (S_k, I_k)^T로 두면 전이행렬 A의 첫째 행은 (0.95, 0.10), 둘째 행은 (0.05, 0.90)이다.

A의 고유값은 1과 0.85다. λ = 1 방향은 반복해도 유지되는 총량 관련 성분이고, λ = 0.85 방향은 k번 뒤 0.85^k배로 줄어드는 과도 성분이다. k가 커지면 0.85^k는 0에 가까워지므로 초기 인구의 세부 분포보다 총인구 S₀ + I₀가 장기 상태를 결정한다.

이 모형의 장기 분포는 서울이 전체의 2/3, 인천이 1/3인 비율로 수렴한다. 즉 S_k는 2(S₀ + I₀)/3, I_k는 (S₀ + I₀)/3에 가까워진다.

여기서 대각화는 단순히 A^k를 빠르게 계산하는 도구를 넘어, 사라지지 않는 성분과 시간이 지나며 감소하는 성분을 고유값별로 분리해 해석하는 도구가 된다.

핵심 개념 정리

• M = PDP^-1에서 P의 열은 독립인 고유벡터, D의 대각은 같은 순서의 고유값이다.
• 대각화 가능성은 행렬 차원만큼 독립인 고유벡터를 확보할 수 있는지로 판정한다.
• 서로 다른 고유값이 n개면 대각화 가능하지만, 고유값이 반복되어도 충분한 고유벡터가 있으면 가능하다.
• MP = PD는 열 대응을 직접 보여 주며 P와 D의 순서를 검산하는 가장 짧은 식이다.
• M^k = PD^kP^-1은 점화식과 반복 전이의 계산·장기 해석을 단순화한다.

대각화 문제에서는 먼저 고유값의 개수가 아니라 고유공간에서 얻을 수 있는 독립인 방향의 총수를 센다. 충분하면 그 방향을 P의 열로 세우고 대응 고유값을 D의 같은 자리에 놓아 MP = PD로 검산한다. 이후 거듭제곱이나 반복 모형에서는 D의 각 성분이 시간에 따라 어떻게 커지고, 줄고, 유지되는지를 읽으면 계산과 해석을 함께 해결할 수 있다.

예상문제 10선

1. 정방행렬 M이 대각화 가능하다는 뜻으로 옳은 것은?

① M의 모든 원소가 0이 될 수 있다. ② M 자체가 처음부터 대각행렬이어야 한다. ③ 임의의 행렬 P에 대해 M = PDP^-1이다. ④ 어떤 정칙행렬 P와 대각행렬 D가 존재하여 M = PDP^-1이다.

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정답: ④

• ① 오답: 영행렬 여부가 아니라 대각행렬과 닮음 관계를 갖는지가 정의다.
• ② 오답: M은 비대각행렬이어도 적절한 기저에서 대각행렬로 표현될 수 있다.
• ③ 오답: P는 역행렬이 존재하고 열이 M의 독립인 고유벡터가 되도록 선택해야 한다.
• ④ 정답: 대각화 가능의 정의에 정칙 P와 대각 D의 존재를 정확히 포함한다.

2. 대각화 가능한 M의 P와 D를 구하는 올바른 순서는?

① P를 임의로 고른 뒤 D = M - P로 계산한다. ② 고유값 계산 → 고유공간 계산 → 독립성 확인 → P와 D를 같은 순서로 조립 ③ M의 거듭제곱 계산 → 고유값 추측 → P의 행에 고유벡터 배치 ④ D의 대각을 먼저 임의로 정한 뒤 P의 열을 맞춘다.

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정답: ②

• ① 오답: 대각화는 행렬 뺄셈으로 D를 만드는 절차가 아니며 P도 고유벡터로 구성해야 한다.
• ② 정답: 가능성 판정에 필요한 고유방향을 먼저 확보하고 대응 순서를 유지하는 절차다.
• ③ 오답: 고유벡터는 P의 행이 아니라 열에 놓이며 큰 거듭제곱은 대각화 뒤에 계산한다.
• ④ 오답: D의 대각은 M의 고유값이어야 하므로 임의로 선택할 수 없다.

3. n차 정방행렬의 대각화 가능성에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 서로 다른 고유값이 n개면 대각화 가능하지만, 고유값이 반복되어도 가능할 수 있다. ② 고유값이 하나라도 반복되면 대각화가 불가능하다. ③ 고유값의 수와 관계없이 모든 정방행렬은 대각화 가능하다. ④ 서로 다른 고유값이 n개면 독립인 고유벡터는 하나만 생긴다.

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정답: ①

• ① 정답: 서로 다른 고유값은 독립인 고유벡터를 보장하고, 반복 고유값도 고유공간이 충분히 크면 필요한 벡터를 제공한다.
• ② 오답: 본문 연습문제처럼 λ = 1이 반복되어도 그 고유공간이 2차원이면 대각화할 수 있다.
• ③ 오답: 독립인 고유벡터가 차원보다 적은 정방행렬은 대각화할 수 없다.
• ④ 오답: 서로 다른 n개의 고유값에 대응하는 고유벡터 n개는 서로 일차독립이다.

4. D = diag(2, -1, 3)일 때 D⁴의 대각원소는?

① 8, -4, 12 ② 16, -1, 81 ③ 16, 1, 81 ④ 6, 1, 12

정답입니다.

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정답: ③

• ① 오답: 네 번의 곱이 아니라 각 수에 4를 곱한 것과 비슷하게 계산했다.
• ② 오답: (-1)의 짝수제곱은 -1이 아니라 1이다.
• ③ 정답: 대각행렬의 거듭제곱은 각 대각원소를 같은 지수로 거듭제곱한다.
• ④ 오답: 원소와 지수를 곱했으며 행렬의 반복 곱을 반영하지 못했다.

5. P의 열 순서를 바꾸면서 D는 그대로 둔 풀이의 문제점은?

① 각 고유벡터와 고유값의 대응이 어긋나 MP = PD가 성립하지 않을 수 있다. ② P의 열 순서는 바꿀 수 없으므로 P가 자동으로 영행렬이 된다. ③ D의 대각원소는 열 순서와 무관하게 모두 같은 값이어야 한다. ④ 열을 바꾸면 M의 고유값 자체가 사라진다.

정답입니다.

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정답: ①

• ① 정답: PD의 j번째 열은 d_jp_j이므로 열과 대각의 순서를 함께 바꿔야 고유방정식이 유지된다.
• ② 오답: 열 순서를 바꾼 행렬도 독립성을 유지하며 영행렬이 되지 않는다.
• ③ 오답: D의 대각은 서로 다른 고유값을 포함할 수 있고 P의 열과 개별적으로 대응한다.
• ④ 오답: 고유값은 M의 특성으로 남아 있으며 단지 잘못된 P·D 조립이 발생한다.

6. 3차 행렬의 세 고유공간에서 독립인 고유벡터를 각각 2개, 1개 얻었다. 이 세 벡터가 함께 일차독립이라면?

① 고유값이 반복되었으므로 대각화할 수 없다. ② 독립인 벡터가 네 개 필요하므로 판단할 수 없다. ③ D는 만들 수 있지만 P는 만들 수 없다. ④ 독립인 고유벡터가 총 세 개이므로 대각화 가능하다.

정답입니다.

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정답: ④

• ① 오답: 반복 고유값 자체가 아니라 독립인 고유벡터 수가 판정 기준이다.
• ② 오답: 3차 공간의 기저에는 독립인 벡터 세 개가 필요하다.
• ③ 오답: 세 독립 고유벡터를 열로 세우면 정칙행렬 P를 만들 수 있다.
• ④ 정답: 행렬 차원과 같은 수의 독립인 고유벡터를 확보했으므로 필요충분조건을 만족한다.

7. 본문 연습문제에서 λ = 1에 대응하는 고유공간의 기저로 옳은 것은?

① (1, 1, 1)^T 하나 ② (0, 1, 0)^T, (0, 0, 1)^T ③ (1, 0, 0)^T, (0, 2, 1)^T ④ (1, 0, 0)^T, (1, 1, 1)^T

정답입니다.

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정답: ③

• ① 오답: (1, 1, 1)^T은 λ = 2에 대응하고, λ = 1의 2차원 고유공간을 만들지 못한다.
• ② 오답: (0, 1, 0)^T은 조건 y = 2z를 만족하지 않는다.
• ③ 정답: 두 벡터 모두 y = 2z를 만족하고 서로 독립이어서 E₁의 기저가 된다.
• ④ 오답: 두 번째 벡터가 λ = 1의 고유방정식을 만족하지 않는다.

8. M = PDP^-1일 때 M^k를 올바르게 나타낸 것은?

① P^kD^kP^-k ② PD^kP^-1 ③ P(D + kI)P^-1 ④ D^k

정답입니다.

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정답: ②

• ① 오답: 인접한 P^-1P가 소거되므로 바깥 P와 P^-1은 한 번씩만 남는다.
• ② 정답: 반복 곱의 가운데 기저변환이 모두 단위행렬로 사라지고 D만 k제곱된다.
• ③ 오답: 행렬의 거듭제곱은 D에 kI를 더하는 연산으로 바뀌지 않는다.
• ④ 오답: D^k는 고유벡터 좌표에서의 표현이며 원래 좌표로 돌아오려면 P와 P^-1이 필요하다.

9. 인구이동 모형의 고유값이 1과 0.85일 때 k가 커질수록 나타나는 현상은?

① 두 고유방향이 모두 같은 속도로 커진다. ② λ = 1 성분은 사라지고 λ = 0.85 성분만 남는다. ③ λ = 1 성분은 유지되고 λ = 0.85 성분은 점차 감소한다. ④ 0.85^k가 1보다 커져 과도 성분이 지배한다.

정답입니다.

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정답: ③

• ① 오답: 1^k과 0.85^k은 서로 다른 장기 거동을 보인다.
• ② 오답: 1^k은 계속 1이고 0.85^k이 0에 가까워진다.
• ③ 정답: 반복 전이에서 고유값의 k제곱이 각 고유방향의 지속성과 소멸을 결정한다.
• ④ 오답: 0과 1 사이 수의 양의 정수 거듭제곱은 점점 작아진다.

10. 대각화 결과를 가장 효율적으로 검산하는 방법은?

① det(P) ≠ 0을 확인하고 각 열에 대해 Mp_j = d_jp_j, 즉 MP = PD를 검사한다. ② P의 모든 원소가 양수인지 확인한다. ③ D의 대각원소 합이 1인지 확인한다. ④ P와 D의 크기만 같으면 검산을 생략한다.

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정답: ①

• ① 정답: P의 가역성과 고유벡터·고유값의 열별 대응을 모두 직접 확인하는 절차다.
• ② 오답: 고유벡터에는 음수나 0 성분이 있을 수 있어 원소의 부호는 판정 기준이 아니다.
• ③ 오답: 대각원소의 합은 M의 고유값 합과 관련되지만 1일 필요는 없다.
• ④ 오답: 크기가 맞아도 열 순서나 고유값 대응이 잘못될 수 있다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 대각화의 기저변환 해석, 반복 고유값 판정, 연습문제의 P·D 계산과 응용 수치 검산은 학습자의 이해를 돕도록 구성하고 검토했습니다.

• 작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
• 주요 근거: 한국방송통신대학교 선형대수 제13강 「행렬의 대각화」 강의자료(2024)
• 보충 자료: 별도의 외부 보충 자료를 사용하지 않음
• 편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
• 최종 내용 검토: 2026-08-27