방송대 방통대 선형대수 12강 - 고유값·고유벡터와 특성방정식 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 12강 - 고유값·고유벡터와 특성방정식

선형변환 뒤에도 방향이 유지되는 고유벡터와 그 확대·축소 비율인 고유값을 정의한다. 특성방정식으로 고유값을 찾고, 동차연립방정식을 풀어 고유벡터와 고유공간의 기저를 구하는 전 과정을 익힌다.

제1장 고유값과 고유벡터

n차 정방행렬 M에 대해 영벡터가 아닌 A가 MA=λA를 만족하면 λ를 M의 고유값, A를 λ에 대응하는 고유벡터라 한다. 변환 결과가 원래 벡터의 스칼라배이므로 직선 방향은 유지된다. λ가 음수면 방향이 반대로 바뀌고, λ=0이면 고유벡터가 영벡터로 보내진다.

A≠O 조건은 필수다. 영벡터는 모든 λ에 대해 MO=λO를 만족하므로 제외하지 않으면 고유값을 구분할 수 없다.

M=[[3,1],[0,2]]에서 (1,0)은 고유값 3, (-1,1)은 고유값 2에 대응한다. 반면 (1,1)은 M(1,1)=(4,2)로 원래 벡터의 스칼라배가 아니므로 고유벡터가 아니다.

제2장 고유공간과 일차독립

같은 λ에 대응하는 고유벡터 A,B에 대해 M(A+B)=λ(A+B), M(kA)=λ(kA)다. 다만 A+B나 kA가 영벡터일 수 있으므로 ‘모든 고유벡터와 영벡터의 합집합’을 고유공간 E_λ=Ker(M-λI)라 한다.

M=[[1,3],[4,2]]의 λ=5 고유공간은 4x=3y를 만족하므로 E₅=span{(3,4)}이고 차원은 1이다. I₃는 모든 비영벡터가 λ=1의 고유벡터이므로 E₁=R³, 차원은 3이다.

서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 일차독립이다. 같은 고유값에 속한 고유벡터들은 고유공간 안에서 별도로 독립인 기저를 골라야 한다.

제3장 특성방정식

MA=λA를 이항하면 (M-λI)A=O이다. A≠O인 해가 존재하려면 M-λI가 비정칙이어야 하므로 det(M-λI)=0이다. 이것이 M의 특성방정식이며 그 실수해가 실수 고유값이다.

n차 행렬의 특성식은 λ에 관한 n차 다항식이다. 강의에서는 실수 고유값을 다루므로 서로 다른 실수 고유값의 수는 n개 이하일 수 있다. 삼각행렬에서는 det(M-λI)가 주대각 성분들의 곱이므로 주대각원소가 곧 고유값이다.

특성방정식은 고유값을 찾는 식이고, 고유벡터는 각 λ를 다시 (M-λI)A=O에 대입해 구한다. 두 단계를 섞지 않는다.

제4장 고유값·고유벡터 계산 절차

1. det(M-λI)=0을 전개해 고유값 λ를 구한다.
2. 각 λ마다 동차방정식 (M-λI)A=O를 푼다.
3. 자유변수로 모든 비영 해를 나타내 고유벡터를 구한다.
4. 해공간의 일차독립 생성벡터를 골라 고유공간의 기저와 차원을 적는다.

M=[[3,2],[1,2]]에서는 특성식 λ²-5λ+4=(λ-1)(λ-4)이므로 고유값은 1,4다. λ=1의 고유벡터는 span{(-1,1)}, λ=4의 고유벡터는 span{(2,1)}이다.

M=[[2,0,-2],[1,1,-2],[0,0,1]]은 고유값 2와 1을 갖는다. λ=2의 고유공간은 span{(1,1,0)}로 1차원이고, λ=1의 고유공간은 span{(0,1,0),(2,0,1)}로 2차원이다.

강의 슬라이드의 λ=2 예 설명 중 기저 표기에는 문맥상 (1,1,0)이 맞다. 계산식 z=0, x=y와 일치하는지 항상 검산한다.

제5장 고유분해와 대각화의 연결

서로 독립인 고유벡터를 열로 모은 P와 대응 고유값을 대각에 둔 D가 있으면 M=PDP^-1 형태로 대각화할 수 있다. 그러면 M^k=PD^kP^-1이 되어 큰 거듭제곱을 쉽게 계산한다. 다음 차시의 대각화 가능성은 충분한 수의 독립 고유벡터가 있는지를 판단하는 문제다.

핵심 개념 정리

고유쌍은 MA=λA, A≠O를 만족한다. 고유값은 det(M-λI)=0의 해이고 고유벡터는 Ker(M-λI)의 비영 원소다. 영벡터를 포함한 해공간이 고유공간이며 서로 다른 고유값의 고유벡터들은 독립이다. 삼각행렬의 고유값은 주대각원소다.

시험 풀이의 고정 순서는 특성식 작성 → 고유값 계산 → 각 λ의 동차방정식 풀이 → 고유공간 기저와 차원 제시다. 마지막에 MA=λA로 대표 기저벡터를 검산한다.

예상문제 20선

1. 고유벡터 A가 만족하는 식은?

① MA=A+λ② MA=λA, A≠O③ M+A=λ④ |M|=A

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

영이 아닌 벡터가 변환 후 자신의 스칼라배가 되어야 한다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

2. 고유벡터 정의에서 영벡터를 제외하는 이유는?

① 영벡터는 정방행렬이 아님② 영벡터는 길이가 1임③ 모든 λ에 대해 MO=λO라 고유값을 구분하지 못함④ 영벡터는 역행렬을 가짐

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

영벡터는 어떤 λ에도 식을 만족하므로 정의에서 제외한다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

3. λ가 음수일 때 고유벡터의 변환은?

① 반대 방향으로 크기가 변함② 항상 영벡터가 됨③ 방향이 임의로 회전함④ 변하지 않음

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

음의 스칼라배는 같은 직선의 반대 방향을 가리킨다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

4. A가 고유벡터가 아닌 경우는?

① MA=2A② MA=-A③ MA=0A이고 A≠O④ MA가 A의 스칼라배가 아님

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

변환 결과가 원래 벡터의 스칼라배가 아니면 방향이 보존되지 않는다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

5. 고유공간 Eλ는?

① 모든 고유값의 집합② Ker(M-λI)③ M의 행공간만④ 영벡터를 제외한 집합만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

고유공간은 (M-λI)A=O의 전체 해공간이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

6. 같은 λ의 고유벡터 A,B에 대해 성립하는 것은?

① A+B도 영이 아니면 같은 λ의 고유벡터② 항상 서로 독립③ A-B는 절대 영이 아님④ 서로 다른 고유값을 가짐

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

선형성으로 M(A+B)=λ(A+B)이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

7. 서로 다른 고유값의 고유벡터들은?

① 항상 종속② 항상 직교③ 항상 길이가 1④ 일차독립

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터 집합은 독립이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

8. I₃의 λ=1 고유공간은?

① {O}② 한 직선③ R³④ 한 평면만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

I₃A=A이므로 모든 R³ 벡터가 해공간에 속한다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

9. 고유값을 구하는 특성방정식은?

① det(M-λI)=0② det(M+λI)=1③ MA=O만④ det M=λI

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

비영 동차해가 존재하려면 M-λI가 비정칙이어야 한다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

10. (M-λI)A=O가 비영 해를 가질 조건은?

① det(M-λI)≠0② A=O만③ M=I만④ det(M-λI)=0

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

계수행렬의 행렬식이 0이어야 동차식에 비자명해가 있다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

11. n차 행렬의 특성식 차수는?

① 항상 1차② n차③ 2n차④ 0차

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

det(M-λI)는 λ에 관한 n차 다항식이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

12. 삼각행렬의 고유값은?

① 행의 합② 열의 합③ 주대각원소④ 행렬식 하나뿐

정답입니다.

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정답: ③

특성행렬도 삼각형이므로 대각의 (aᵢᵢ-λ) 곱이 특성식이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

13. M=[[3,2],[1,2]]의 고유값은?

① 1과 4② 2와 3③ 0과 5④ -1과 -4

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

특성식은 (λ-1)(λ-4)이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

14. 위 행렬에서 λ=1의 고유공간 기저는?

① (1,1)② (2,1)③ (1,0)④ (-1,1)

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

(M-I)A=O에서 x=-y이므로 (-1,1)이 기저다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

15. 위 행렬에서 λ=4의 고유공간 기저는?

① (-1,1)② (2,1)③ (0,1)④ (1,2)

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

(M-4I)A=O에서 x=2y가 된다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

16. 고유값을 찾은 다음 단계는?

① 각 λ에 대해 (M-λI)A=O를 풂② M을 영행렬로 바꿈③ 모든 벡터를 정규화만 함④ 행렬식을 다시 1로 둠

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

각 고유값의 영공간을 구해야 고유벡터와 고유공간을 얻는다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

17. 고유공간의 차원은 무엇으로 구하는가?

① 고유값의 크기② 행렬 원소의 합③ 영공간의 독립 기저벡터 수④ λ의 부호

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

고유공간은 부분공간이므로 그 기저 원소 수가 차원이다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

18. λ=1 고유공간이 두 독립벡터로 생성되면 차원은?

① 0② 1③ 2④ 3 이상만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

독립 생성벡터 두 개가 기저를 이루므로 차원은 2다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

19. M=PDP⁻¹일 때 Mᵏ는?

① PᵏD② PDᵏP⁻¹③ Dᵏ만④ P⁻¹DᵏP

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

연속 곱에서 P⁻¹P가 소거된다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.

20. 계산한 고유벡터의 가장 직접적인 검산은?

① 벡터 성분 합이 1② 길이가 1③ 행렬식이 양수④ MA=λA 확인

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

대표 벡터를 원래 행렬에 곱해 λ배가 되는지 확인한다. 나머지 선택지는 고유쌍의 정의나 계산 절차를 충족하지 않는다.