방송대 방통대 선형대수 10강 - 선형변환의 상과 핵 - 요약 노트 시험족보 예상문제 - 올에이클래스

선형대수 10강 - 선형변환의 상과 핵

벡터의 덧셈과 스칼라곱을 보존하는 선형변환을 정의하고 행렬 표현과 합성을 이해한다. 상과 핵, 차원공식을 이용해 단사·전사·동형 여부를 판정하는 방법을 익힌다.

제1장 선형변환의 정의

벡터공간 사이의 사상

사상 T:V→W에서 V는 정의역, W는 공역이다. T(A)는 A의 상이며 모든 상의 집합이 치역이다. 단사는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 갖는 함수, 전사는 공역의 모든 원소가 어떤 입력의 상인 함수, 전단사는 단사이면서 전사인 함수다.

T가 모든 A,B∈V와 k∈R에 대해 T(A+B)=T(A)+T(B), T(kA)=kT(A)를 만족하면 선형변환이다. 즉 덧셈과 스칼라곱이라는 벡터공간의 두 연산을 보존한다.

선형성이 바로 주는 성질

• T(O)=O: 선형변환은 영벡터를 영벡터로 보낸다.
• T(-A)=-T(A): 덧셈 역원을 보존한다.
• T(A-B)=T(A)-T(B): 뺄셈을 보존한다.
• T(ΣkᵢAᵢ)=ΣkᵢT(Aᵢ): 모든 유한 일차결합을 보존한다.

특히 T(O)≠O인 사상은 선형변환일 수 없다. 예를 들어 실수 함수 f(x)=2x+1은 상수항 때문에 원점을 보존하지 않아 선형변환이 아니다.

미분·적분·행렬 곱의 선형성

미분과 적분은 합과 상수배를 보존하며, 고정 행렬 M을 왼쪽에서 곱하는 사상도 M(A+B)=MA+MB, M(kA)=kMA를 만족한다. 서로 다른 대상에서도 같은 두 조건이 나타난다는 점이 추상화의 핵심이다.

제2장 행렬 표현과 합성

표준기저의 상을 열로 놓기

선형변환 T:R^m→Rⁿ은 행렬 M=(T(E₁) T(E₂) … T(E_m))으로 표현된다. 여기서 Eᵢ는 정의역의 표준기저이고 각 T(Eᵢ)는 M의 i번째 열이다. 모든 벡터가 표준기저의 일차결합이므로 이 열들만 알면 T 전체가 결정된다.

T(x,y)=(x+y,x-y,2x+y)라면 T(1,0)=(1,1,2), T(0,1)=(1,-1,1)이므로 대응행렬은 [[1,1],[1,-1],[2,1]]이다.

또 T(x,y)=(3x,2x,x+y)의 행렬은 [[3,0],[2,0],[1,1]]이다. 입력 열벡터 A에 대해 MA=T(A)가 된다.

기저의 상으로 변환을 결정

{A₁,…,Aₙ}이 V의 기저이고 목표 벡터 Bᵢ∈W가 주어지면 T(Aᵢ)=Bᵢ를 만족하는 선형변환이 유일하게 존재한다. 기저 위의 값을 정하면 선형성에 의해 모든 일차결합의 상이 강제되기 때문이다.

선형변환의 합성

S:U→V, T:V→W가 선형변환이면 (T∘S)(A)=T(S(A))도 선형변환이다. S와 T의 대응행렬이 각각 M,N이면 합성 T∘S의 행렬은 NM이다. 함수 적용 순서와 행렬 곱의 오른쪽부터 계산하는 순서가 일치한다.

시험 핵심: R^m→Rⁿ 선형변환의 행렬은 n×m이고, 열의 개수는 정의역 차원, 행의 개수는 공역 차원이다.

제3장 선형변환이 보존하는 구조

부분공간과 일차독립

V′가 V의 부분공간이면 T(V′)는 W의 부분공간이다. 특히 전체 정의역의 상 T(V)=Im(T)도 공역의 부분공간이다. 반대로 W′<W의 원상 T^-1(W′)도 V의 부분공간이다.

상 T(Aᵢ)들이 일차독립이면 원래 벡터 Aᵢ들도 일차독립이다. 역방향, 즉 원래 일차독립인 벡터들의 상도 일차독립이라는 결론은 T가 단사일 때 성립한다. 단사가 아니면 서로 다른 방향이 영벡터로 눌릴 수 있다.

선형변환 자체의 벡터공간

S,T:V→W에 대해 (S+T)(A)=S(A)+T(A), (kT)(A)=kT(A)로 정의하면 둘 다 선형변환이다. 따라서 V에서 W로 가는 모든 선형변환의 집합 L(V,W)는 벡터공간을 이룬다.

제4장 상과 핵, 차원공식

상과 핵

개념	정의	속하는 공간
상 Im(T)	{T(A) | A∈V}	W의 부분공간
핵 Ker(T)	{A∈V | T(A)=O}	V의 부분공간

핵은 영벡터의 원상이며 T(O)=O이므로 절대로 공집합이 아니다. Ker(T)={O}일 필요충분조건은 T가 단사라는 것이다. 핵에 0이 아닌 벡터가 있으면 그 벡터와 0이 같은 상을 가져 단사가 아니다.

T:R²→R³, T(x,y)=(0,0,x+y)이면 x+y=0이어야 하므로 Ker(T)={(x,-x)}=span{(1,-1)}이다.

차원공식

유한차원 벡터공간에서 dim V=dim Im(T)+dim Ker(T)이다. 정의역의 자유도는 출력으로 살아남는 차원과 영벡터로 사라지는 차원으로 분해된다. T∈L(R^m,Rⁿ)의 대응행렬이 M이면 dim Im(T)=rank(M), dim Ker(T)=m-rank(M)이다.

T(x,y)=(x+y,x-y,2x)에서는 상을 생성하는 (1,1,2), (1,-1,0)이 일차독립이므로 상의 차원은 2다. 정의역 차원이 2이므로 핵의 차원은 0이고 핵은 {O}다.

단사·전사·동형

Ker(T)={O}이면 단사다. 또한 dim V=dim W인 유한차원 공간에서는 선형변환이 단사인 것과 전사인 것이 동치다. 전단사 선형변환을 동형변환이라 하며, 이때 V와 W는 동형이고 V≈W로 쓴다.

2차 이하 다항식 공간 P₂에서 T(a+bx+cx²)=(a,b,c)로 정의하면 R³의 모든 벡터와 일대일 대응하므로 전단사다. 따라서 P₂≈R³이고 두 공간은 원소의 모습은 달라도 벡터공간 구조가 같다.

차원이 같은 경우: 단사 하나만 확인해도 전사까지 따라오며, 반대로 전사를 확인해도 단사가 따라온다.

핵심 개념 정리

• 선형변환은 덧셈과 스칼라곱을 보존하며 영벡터·역원·뺄셈·일차결합도 보존한다.
• 표준기저의 상을 열로 놓으면 대응행렬을 얻고, 합성의 행렬은 적용 순서의 곱이다.
• 상은 출력으로 가능한 벡터들의 부분공간, 핵은 0으로 보내지는 입력들의 부분공간이다.
• dim V=dim Im(T)+dim Ker(T)이고 상의 차원은 대응행렬의 계수(rank)다.
• Ker(T)={O}와 단사는 동치이며 전단사 선형변환은 동형변환이다.

최종 정리: 선형변환은 기저의 상으로 완전히 결정되고, 상은 남는 정보, 핵은 사라지는 정보를 나타낸다. 차원공식은 이 두 부분이 정의역의 전체 차원을 정확히 나눈다는 사실을 표현한다.

예상문제 20선

1. T가 선형변환이기 위한 두 조건은?

① 곱셈과 나눗셈 보존② 덧셈과 스칼라곱 보존③ 거리와 각도 보존④ 모든 원소를 동일하게 보냄

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

T(A+B)=T(A)+T(B), T(kA)=kT(A)가 선형성의 정의다. 이 두 조건에서 일차결합 보존도 따라온다.

2. 모든 선형변환에 대해 반드시 성립하는 것은?

① T(O)=O② T(O)=1③ T(A)=A④ T는 항상 전단사

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

T(O)=T(0A)=0T(A)=O이므로 영벡터 보존은 선형성의 필수 결과다.

3. f(x)=2x+1이 선형변환이 아닌 직접적인 이유는?

① 정의역이 실수라서② 계수가 2라서③ 단사여서④ f(0)=1로 영벡터를 보존하지 않아서

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

선형변환은 반드시 0을 0으로 보내야 하지만 상수항 1 때문에 f(0)=1이다.

4. T:Rᵐ→Rⁿ의 대응행렬 크기는?

① m×n② n×m③ m×m만 가능④ n×n만 가능

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

입력 m×1 벡터를 출력 n×1 벡터로 보내려면 왼쪽 행렬은 n×m이어야 한다.

5. 선형변환의 대응행렬 열은 무엇인가?

① 공역의 영벡터② 정의역의 모든 벡터③ 정의역 표준기저의 상 T(Eᵢ)④ 핵의 기저만

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

표준기저 벡터의 상을 차례로 열에 배치하면 임의 벡터의 일차결합을 행렬 곱으로 계산할 수 있다.

6. T(x,y)=(3x,2x,x+y)의 대응행렬은?

① [[3,0],[2,0],[1,1]]② [[3,2,1],[0,0,1]]③ [[1,0],[0,1]]④ [[3,2],[1,1]]

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

T(1,0)=(3,2,1), T(0,1)=(0,0,1)을 두 열로 놓는다.

7. S의 행렬이 M, T의 행렬이 N일 때 T∘S의 행렬은?

① MN② M+N③ NM④ M-N

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

먼저 S를 적용해 M을 곱하고 다음 T를 적용해 N을 왼쪽에 곱하므로 NM이다.

8. V′가 V의 부분공간일 때 반드시 성립하는 것은?

① T(V′)=W② T(V′)는 공집합③ V′=V④ T(V′)는 W의 부분공간

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

선형변환은 합과 스칼라곱을 보존하므로 부분공간의 상도 두 연산에 닫혀 있다.

9. Im(T)의 정의는?

① T(A)=O인 A의 집합② {T(A) | A∈V}③ V의 여집합④ 표준기저만의 집합

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

상은 정의역의 모든 입력을 T로 보냈을 때 실제로 도달하는 출력 전체다.

10. Ker(T)의 정의는?

① 공역 전체② T의 상③ T(A)=A인 A④ {A∈V | T(A)=O}

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

핵은 공역 영벡터의 원상으로, 변환에 의해 사라지는 입력들의 부분공간이다.

11. 선형변환의 핵이 공집합일 수 없는 이유는?

① T(O)=O이므로 O가 항상 핵에 있다② 모든 벡터가 핵에 있다③ 공역이 비어 있다④ T는 항상 영변환이다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

선형변환은 영벡터를 보존하므로 적어도 정의역 영벡터는 항상 핵에 포함된다.

12. T(x,y)=(0,0,x+y)의 핵은?

① {(x,x)}② {(x,-x) | x∈R}③ R³ 전체④ 공집합

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

T(x,y)=O이려면 x+y=0이므로 y=-x이고 핵은 (1,-1)이 생성하는 직선이다.

13. 차원공식으로 옳은 것은?

① dim W=dim V+dim Ker(T)② dim V=dim W③ dim V=dim Im(T)+dim Ker(T)④ dim Ker(T)=dim W

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

정의역 차원은 상으로 남는 차원과 핵으로 사라지는 차원의 합이다.

14. T∈L(Rᵐ,Rⁿ)의 행렬 M에 대해 dim Im(T)는?

① m+n② m-rank(M)③ n-rank(M)④ rank(M)

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

대응행렬 열들이 상을 생성하며 그 열공간의 차원이 행렬의 계수(rank)다.

15. dim Ker(T)를 행렬 위수로 나타내면?

① m-rank(M)② n-rank(M)③ rank(M)④ m+n

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

dim Rᵐ=m이고 dim Im(T)=rank(M)이므로 차원공식에서 핵의 차원은 m-rank(M)이다.

16. 선형변환 T가 단사일 필요충분조건은?

① Im(T)={O}② Ker(T)=V③ Ker(T)={O}④ dim V=0만 가능

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

두 입력의 상이 같으면 차의 상이 0이다. 핵이 {O}이면 그 차가 0이므로 입력들이 같다.

17. dim V=dim W일 때 선형변환에 대해 옳은 것은?

① 단사여도 전사가 아니다② 단사와 전사가 동치다③ 모든 변환이 영변환이다④ 핵은 항상 V다

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ②

차원이 같으면 핵이 0차원인 것과 상이 공역 전체 차원을 갖는 것이 차원공식으로 동치다.

18. 동형변환의 정의는?

① 전단사 선형변환② 영변환③ 전사이지만 비선형인 함수④ 단사 아닌 선형변환

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ①

동형변환은 선형성을 가지면서 단사와 전사를 모두 만족해 두 공간의 구조를 완전히 대응시킨다.

19. P₂와 R³의 동형변환 예는?

① T(p)=0② T(a+bx+cx²)=a+b+c③ T(p)=p²④ T(a+bx+cx²)=(a,b,c)

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ④

계수 세 개를 좌표로 보내면 덧셈과 스칼라곱을 보존하며 일대일 대응이 된다.

20. T(x,y)=(x+y,x-y,2x)의 상과 핵 차원은?

① 1,1② 0,2③ 2,0④ 3,0

정답입니다.

다시 생각해 보세요.

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정답: ③

대응행렬의 두 열이 일차독립이어서 위수가 2이고, 정의역 차원 2에서 빼면 핵 차원은 0이다.