방송대 선형대수 10강: 선형변환과 상·핵

방송대 선형대수 10강: 선형변환과 상·핵

선형변환은 벡터를 다른 공간으로 옮기되 일차결합의 구조를 그대로 보존하는 규칙이다. 이 글에서는 선형성 판별에서 출발해 표준기저로 행렬을 만들고, 상과 핵으로 출력된 정보와 사라진 정보를 나눈 뒤, 차원정리로 단사·전사·동형 여부까지 판단하는 흐름을 익힌다.

선형변환은 벡터의 정보가 이동하는 과정이다

벡터공간 V의 각 벡터를 벡터공간 W의 한 벡터에 대응시키는 함수 T:V→W를 생각하자. V는 정의역, W는 공역이며, 실제로 도달하는 출력들의 집합은 치역이다. 선형변환에서는 이 함수가 덧셈과 스칼라배를 보존한다.

T(A+B)=T(A)+T(B), T(kA)=kT(A)

두 조건을 한 식으로 묶으면 임의의 스칼라 a,b와 벡터 A,B에 대해 T(aA+bB)=aT(A)+bT(B)이다. 즉 입력에서 먼저 일차결합한 뒤 변환하든, 각 입력을 변환한 뒤 같은 계수로 결합하든 결과가 같다.

정보 흐름 지도: 입력공간 V → 선형성 검사 → 표준기저의 상으로 행렬 구성 → 행렬곱으로 출력 계산 → Im(T)에서 살아남은 방향 확인 → Ker(T)에서 사라진 방향 확인 → 차원정리로 단사·전사·동형 판정.

영벡터 검사는 선형이 아닌 함수를 빠르게 걸러 낸다

선형성 두 조건에서 즉시 따라오는 성질이 있다. T(O)=O, T(-A)=-T(A), T(A-B)=T(A)-T(B)이다. 따라서 어떤 함수가 영벡터를 영벡터로 보내지 않으면 두 조건을 모두 대입해 볼 필요 없이 선형변환이 아니다.

예를 들어 F:R²→R², F(x,y)=(x+y,2x-y)는 각 성분이 상수항 없는 일차식이므로 덧셈과 스칼라배를 보존한다. 반면 G(x,y)=(x+y+1,2x-y)는

G(0,0)=(1,0)≠(0,0)

이므로 선형변환이 아니다. 상수 1 하나가 원점을 이동시켜 일차결합 구조를 깨뜨린다.

검사 순서에 주의한다. T(O)=O는 선형변환의 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다. 영벡터 검사를 통과한 함수는 덧셈 보존과 스칼라배 보존까지 확인해야 한다.

표준기저의 출력만 알면 변환 전체를 복원할 수 있다

R²의 표준기저를 E₁=(1,0), E₂=(0,1)이라 하자. 모든 입력은 (x,y)=xE₁+yE₂로 표현되므로 선형성에 의해

T(x,y)=xT(E₁)+yT(E₂)

이다. 따라서 표준기저가 어디로 가는지만 알면 모든 입력의 출력을 계산할 수 있다. 강의의 변환 T(x,y)=(3x,2x,x+y)에서는

T(E₁)=(3,2,1), T(E₂)=(0,0,1)

이다. 이 두 벡터를 차례로 열에 세우면 대응행렬은

M(T)=[[3,0],[2,0],[1,1]]

이 된다. 실제로 M(T)[x,y]^T=[3x,2x,x+y]^T이므로 원래 식이 복원된다.

기저 복원 실험: 행렬의 첫째 열은 T(E₁), 둘째 열은 T(E₂)다. 출력식의 계수를 행별로 읽는 방법과 표준기저의 상을 열별로 세우는 방법은 같은 행렬을 만든다.

합성변환의 행렬은 실행 순서와 반대로 놓인다

S:U→V의 행렬이 M, T:V→W의 행렬이 N이라고 하자. 입력벡터 X에 먼저 S를 적용하면 MX, 이어 T를 적용하면 N(MX)이므로

M(T∘S)=NM

이다. 기호 T∘S에서는 S가 먼저 실행되지만 행렬곱에서는 S의 행렬 M이 오른쪽에 놓인다.

학습용 예로 S(x,y)=(x+y,y), T(u,v)=(u,u-v)라 하자. M=[[1,1],[0,1]], N=[[1,0],[1,-1]]이므로

NM=[[1,1],[1,0]]

이다. 직접 계산해도 (T∘S)(x,y)=T(x+y,y)=(x+y,x)로 같은 결과가 나온다.

행렬곱은 일반적으로 교환되지 않는다. NM을 MN으로 바꾸면 실행 순서가 달라지며, 정의역과 공역의 차원 때문에 곱 자체가 불가능할 수도 있다.

상은 출력에 남은 방향이고 핵은 0으로 사라진 방향이다

선형변환 T:V→W의 상(image)은 실제로 만들어지는 모든 출력의 집합이다.

Im(T)=T(V)={T(A) | A∈V}⊆W

핵(kernel)은 영벡터로 보내지는 모든 입력의 집합이다.

Ker(T)={A∈V | T(A)=O}

상은 공역 W의 부분공간이고 핵은 정의역 V의 부분공간이다. 둘을 같은 공간의 집합처럼 혼동하면 안 된다. 핵에는 항상 O가 들어가므로 공집합일 수 없다.

구분	사는 공간	묻는 질문	계산식
Im(T)	공역 W	어떤 출력 방향까지 도달하는가?	행렬의 열공간
Ker(T)	정의역 V	어떤 입력 방향이 완전히 사라지는가?	동차방정식 MX=O의 해공간

핵을 구하면 변환이 입력을 구별하는지 알 수 있다

강의의 예 T:R²→R³, T(x,y)=(0,0,x+y)에서 핵을 구하려면 출력이 영벡터가 되는 조건을 푼다.

x+y=0 → y=-x

따라서 Ker(T)={(x,-x) | x∈R}=sp((1,-1))이고 핵의 차원은 1이다. 서로 다른 두 입력이 (1,-1) 방향만큼 차이 나면 같은 출력으로 겹친다.

이 관찰은 단사 조건으로 이어진다.

T가 단사 ⇔ Ker(T)={O}

핵이 영벡터뿐이면 사라지는 비영벡터 방향이 없으므로 서로 다른 입력을 구별한다. 반대로 핵에 비영벡터 K가 있으면 T(A+K)=T(A)이므로 단사가 아니다.

차원정리는 입력 방향의 정보예산을 나눈다

유한차원 벡터공간에서 선형변환 T:V→W에는 다음 차원정리가 성립한다.

dim V=dim Im(T)+dim Ker(T)

입력공간의 독립 방향 수는 출력에 남은 방향 수와 영벡터로 소실된 방향 수의 합이다. 행렬 M이 Rᵐ→Rⁿ의 변환을 나타내면 dim Im(T)=rank(M)이므로

dim Ker(T)=m-rank(M)

입력 정보예산	출력에 남음	핵에서 소실	판정
m	rank(M)	m-rank(M)	두 값의 합은 항상 m
3	2	1	한 방향이 사라지므로 단사가 아님
2	2	0	입력 방향을 잃지 않으므로 단사

직접 만든 예제로 상과 핵을 한 번에 계산한다

학습용 변환 F:R³→R², F(x,y,z)=(x+y,y+z)를 살펴보자. 대응행렬은

M(F)=[[1,1,0],[0,1,1]]

이다. 첫째 열과 셋째 열이 각각 (1,0), (0,1)이므로 두 열은 독립이고 rank(M)=2다. 따라서 Im(F)=R²이고 전사다.

핵은 x+y=0, y+z=0을 풀어 구한다. y=t로 두면 x=-t, z=-t이므로

Ker(F)=sp((-1,1,-1))

이다. 차원도 3=2+1로 맞는다. 이 변환은 공역의 모든 출력에는 도달하지만 한 입력 방향을 잃으므로 전사이면서 단사는 아니다.

강의 연습문제는 열벡터와 계수로 짧게 검산된다

연습문제의 T:R²→R³, T(x,y)=(x-y,2x+3y,x+y)를 풀어 보자. 표준기저의 상은

T(1,0)=(1,2,1), T(0,1)=(-1,3,1)

이므로 대응행렬은

M(T)=[[1,-1],[2,3],[1,1]]

이다. 첫째·둘째 행으로 만든 2×2 소행렬식은 1·3-(-1)·2=5≠0이므로 계수는 2다. 따라서 dim Im(T)=2, dim Ker(T)=2-2=0이다.

직접 핵을 풀어도 x-y=0에서 x=y, x+y=0에서 2x=0이므로 x=y=0뿐이다. 따라서 Ker(T)={O}이고 T는 단사다. 그러나 상의 차원은 2로 공역 R³의 차원 3보다 작으므로 전사는 아니다.

이중 검산: 행렬의 계수로 핵의 차원을 구한 결과와 동차연립방정식을 직접 푼 결과가 일치해야 한다. 또 M(T)[x,y]^T를 곱해 원래 출력식이 복원되는지 확인한다.

같은 차원에서는 단사와 전사가 서로를 보장한다

dim V=dim W인 유한차원 공간 사이의 선형변환에서는 다음 세 조건이 서로 동치다.

1. T가 단사다.
2. T가 전사다.
3. T가 전단사다.

예를 들어 핵이 {O}이면 차원정리에서 dim Im(T)=dim V=dim W다. 상은 W의 부분공간이면서 차원이 W와 같으므로 Im(T)=W, 즉 전사가 된다.

전단사인 선형변환을 동형변환(isomorphism)이라 하며, 이런 변환이 존재하는 두 공간을 동형이라 한다. 강의의

T:P₂→R³, T(a+bx+cx²)=(a,b,c)

는 다항식의 계수를 좌표벡터로 옮기는 동형변환이다. 모양은 다르지만 두 공간 모두 독립 방향이 세 개이고 선형 구조가 정확히 보존된다.

차원이 다르면 “단사이면 전사”를 사용할 수 없다. 앞의 연습문제처럼 R²→R³에서 핵이 0이어도 상의 차원은 최대 2라서 R³ 전체를 채울 수 없다.

핵심 개념 정리

• 선형변환은 덧셈과 스칼라배를 보존하며, 반드시 T(O)=O를 만족한다.
• 표준기저의 상을 순서대로 열에 세우면 대응행렬을 얻고, 합성 T∘S의 행렬은 NM이다.
• Im(T)는 실제 출력의 집합, Ker(T)는 영벡터로 사라지는 입력의 집합이다.
• dim V=dim Im(T)+dim Ker(T)이며, 행렬에서는 dim Im(T)=rank(M)이다.
• T가 단사일 필요충분조건은 Ker(T)={O}이고, 정의역과 공역의 차원이 같으면 단사와 전사가 동치다.
• 전단사 선형변환은 동형변환이며 서로 다른 표현의 벡터공간이 같은 선형 구조를 가짐을 보여 준다.

선형변환 문제는 하나의 흐름으로 풀 수 있다. 먼저 영벡터와 두 보존 법칙으로 선형성을 확인하고, 표준기저의 출력을 열로 세워 행렬을 만든다. 그 행렬의 열공간과 동차방정식에서 상과 핵을 구한 뒤, 계수-퇴화차수 정리로 차원을 맞춘다. 마지막으로 핵이 0인지, 상이 공역 전체인지, 두 공간의 차원이 같은지를 차례로 확인하면 단사·전사·동형 여부까지 일관되게 판정할 수 있다.

예상문제 10선

1. 함수 T:V→W가 선형변환이 되기 위한 조건은?

① 벡터의 길이와 각도를 언제나 보존한다. ② 덧셈과 스칼라배를 보존한다. ③ 정의역과 공역의 차원이 반드시 같다. ④ 모든 입력을 서로 다른 출력으로 보낸다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②

• ① 오답: 길이와 각도 보존은 일반 선형변환의 필수 조건이 아니다.
• ② 정답: T(A+B)=T(A)+T(B)와 T(kA)=kT(A)가 정의다.
• ③ 오답: 서로 다른 차원의 공간 사이에도 선형변환이 존재한다.
• ④ 오답: 이는 단사의 설명이며 모든 선형변환이 단사인 것은 아니다.

2. G(x,y)=(x+y+1,2x-y)가 선형변환이 아닌 가장 빠른 근거는?

① 출력의 성분이 두 개이기 때문이다. ② 식에 음수 계수가 있기 때문이다. ③ 두 입력변수를 더하기 때문이다. ④ G(0,0)=(1,0)≠(0,0)이기 때문이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 입력과 출력의 성분 수가 같은 것은 선형성 판단 근거가 아니다.
• ② 오답: 음의 스칼라 계수도 선형식에서 허용된다.
• ③ 오답: 변수의 합은 덧셈과 스칼라배를 보존할 수 있다.
• ④ 정답: 선형변환은 반드시 영벡터를 영벡터로 보내므로 즉시 반례가 된다.

3. T(x,y)=(3x,2x,x+y)의 표준기저에 대한 대응행렬은?

① [[3,0],[2,0],[1,1]] ② [[3,2,1],[0,0,1]] ③ [[3,0],[0,2],[1,1]] ④ [[1,0],[0,1],[3,2]]

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①

• ① 정답: T(1,0)=(3,2,1)과 T(0,1)=(0,0,1)을 열로 세운 행렬이다.
• ② 오답: 올바른 두 열을 행으로 눕혀 행렬의 크기가 2×3으로 바뀌었다.
• ③ 오답: 둘째 출력은 2x이므로 둘째 행은 [2,0]이어야 한다.
• ④ 오답: 표준기저와 출력 계수의 위치를 잘못 섞었다.

4. S의 행렬이 M, T의 행렬이 N일 때 T∘S의 행렬은?

① M+N ② MN ③ NM ④ N-M

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③

• ① 오답: 함수의 합성이 행렬의 덧셈으로 표현되지는 않는다.
• ② 오답: 오른쪽 행렬부터 작용하므로 실행 순서를 거꾸로 놓아야 한다.
• ③ 정답: 입력 X는 먼저 MX, 다음 N(MX)가 되어 NM을 얻는다.
• ④ 오답: 합성과 행렬의 뺄셈은 서로 다른 연산이다.

5. 상과 핵을 올바르게 구분한 것은?

① 상과 핵은 모두 공역의 부분공간이다. ② 상은 공역의 실제 출력 부분공간이고, 핵은 정의역에서 0으로 가는 입력 부분공간이다. ③ 상은 항상 공역 전체이고 핵은 항상 공집합이다. ④ 핵은 행렬의 열공간이고 상은 동차방정식의 해공간이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②

• ① 오답: 핵은 정의역 V의 부분공간이다.
• ② 정답: Im(T)⊆W, Ker(T)⊆V라는 위치와 의미를 모두 맞게 설명한다.
• ③ 오답: 상이 공역 전체인 것은 전사일 때뿐이며 핵에는 항상 영벡터가 있다.
• ④ 오답: 두 계산법을 서로 뒤바꿨다.

6. T(x,y)=(0,0,x+y)의 핵은?

① sp((1,-1)) ② sp((1,1)) ③ R³ ④ {(0,0,0)}

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ①

• ① 정답: x+y=0에서 (x,y)=x(1,-1)을 얻는다.
• ② 오답: (1,1)의 출력은 (0,0,2)로 영벡터가 아니다.
• ③ 오답: 핵은 정의역 R²의 부분공간이지 R³가 아니다.
• ④ 오답: 핵의 원소는 입력벡터이므로 이 선택지는 공간부터 맞지 않고 비영벡터도 존재한다.

7. F:R³→R²의 대응행렬 계수가 2일 때 dim Ker(F)는?

① 3 ② 2 ③ 0 ④ 1

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 계수가 0일 때에만 입력 세 방향이 모두 핵에 들어간다.
• ② 오답: 이는 상의 차원이며 핵의 차원이 아니다.
• ③ 오답: 입력 차원 3보다 계수 2가 작으므로 한 방향이 남는다.
• ④ 정답: 차원정리에서 dim Ker(F)=3-rank(M)=3-2=1이다.

8. T(x,y)=(x-y,2x+3y,x+y)의 대응행렬은?

① [[1,2,1],[-1,3,1]] ② [[1,-1],[2,3],[1,1]] ③ [[1,1],[2,3],[-1,1]] ④ [[1,-1],[3,2],[1,1]]

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ②

• ① 오답: 두 표준기저의 상을 행으로 놓아 2×3 행렬로 전치했다.
• ② 정답: T(1,0)=(1,2,1)과 T(0,1)=(-1,3,1)을 열로 세운다.
• ③ 오답: y의 첫째 출력 계수는 -1이어야 한다.
• ④ 오답: 둘째 출력 2x+3y의 두 계수 순서를 바꿨다.

9. 선형변환 T가 단사일 필요충분조건은?

① Im(T)={O} ② Ker(T)=V ③ Im(T)가 공집합이다. ④ Ker(T)={O}

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ④

• ① 오답: 모든 입력이 영벡터로 가면 비영공간에서는 단사가 아니다.
• ② 오답: 정의역 전체가 핵이면 모든 입력의 출력이 같아진다.
• ③ 오답: 선형변환의 상에는 적어도 영벡터가 있어 공집합일 수 없다.
• ④ 정답: 0으로 사라지는 입력이 영벡터뿐일 때 서로 다른 입력이 같은 출력으로 겹치지 않는다.

10. dim V=dim W<∞이고 Ker(T)={O}인 선형변환 T:V→W에 대한 결론은?

① 단사지만 전사는 될 수 없다. ② 전사지만 단사는 아니다. ③ 단사이면서 전사이므로 동형변환이다. ④ 영변환이므로 상의 차원은 0이다.

정답입니다.

오답입니다. 답안을 다시 선택해 보세요.

정답 및 해설 보기

정답: ③

• ① 오답: 같은 유한차원에서는 단사가 전사를 보장한다.
• ② 오답: 핵이 영벡터뿐이라는 조건이 이미 단사를 뜻한다.
• ③ 정답: 차원정리로 dim Im(T)=dim V=dim W이므로 상은 W 전체이고 전단사다.
• ④ 오답: 영변환이면 비영벡터공간에서 핵이 정의역 전체가 된다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 개념 관계, 예제와 문제 해설은 학습자의 이해를 돕도록 구성하고 검토했습니다.

• 작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
• 주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과 선형대수 제10강 「선형변환」 강의자료(2024)
• 보충 자료: 별도의 외부 자료를 사용하지 않음
• 편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
• 최종 내용 검토: 2026-08-26