방송대 이산수학 9강: 그래프의 구조와 표현

지하철 노선, 컴퓨터 통신망, 사람 사이의 관계는 대상과 연결만 남기면 같은 수학적 틀로 다룰 수 있습니다. 그래프에서는 대상을 꼭지점, 관계를 변으로 추상화합니다. 이 글은 한 그래프를 ‘구성 요소 확인 → 이동 경로 판별 → 전체 모양 분류 → 행렬과 리스트로 변환’의 네 관점에서 읽는 방법을 정리합니다.

그래프는 대상과 관계만 남긴 수학적 지도다

그래프 G=(V,E)는 꼭지점(vertex)의 집합 V와 변(edge)의 집합 E로 이루어집니다. 꼭지점은 사람·도시·웹페이지처럼 분석할 대상을, 변은 친구 관계·도로·하이퍼링크처럼 두 대상의 연결을 나타냅니다. 실제 위치, 거리, 선의 굽은 모양은 그래프의 본질이 아닙니다. 어떤 꼭지점들이 어떤 변으로 연결되는지가 핵심입니다.

쾨니히스베르크의 일곱 다리 문제도 육지 영역을 꼭지점으로, 다리를 변으로 바꾸자 ‘모든 변을 한 번씩 지날 수 있는가’라는 그래프 문제가 되었습니다. 복잡한 지도를 연결 구조만으로 바꾸는 이 추상화가 그래프 이론의 출발점입니다.

그래프 감사 카드: 처음 보는 그래프에서는 ① 꼭지점과 변의 목록, ② 각 꼭지점의 차수, ③ 가능한 이동과 연결성, ④ 완전·이분·정규 여부, ⑤ 요구된 표현 방식을 차례로 확인합니다.

국소 구조는 인접과 발생이라는 두 질문으로 읽는다

변 e의 양 끝이 u와 v라면 e는 u와 v에 발생하고, u와 v는 서로 인접합니다. 발생은 ‘꼭지점과 변’의 관계이고, 인접은 ‘꼭지점과 꼭지점’의 관계입니다. 두 용어의 대상을 구분하면 발생행렬과 인접행렬도 자연스럽게 구별됩니다.

구조	판별 기준	읽을 때의 주의점
평행변	같은 두 꼭지점을 잇는 변이 여러 개	변은 서로 다른 원소이므로 각각 센다.
루프	한 꼭지점에서 출발해 같은 꼭지점으로 돌아오는 변	무방향 그래프의 차수에서는 2를 기여한다.
고립 꼭지점	발생하는 변이 없는 꼭지점	차수는 0이지만 꼭지점 집합에는 포함된다.
단순 그래프	루프와 평행변이 없는 무방향 그래프	서로 다른 한 쌍 사이의 변은 최대 하나다.
다중 그래프	평행변이나 루프를 허용하는 그래프	그림뿐 아니라 변의 개수를 보존해야 한다.

꼭지점과 변의 이름만 바뀌었을 뿐 연결 방식이 같은 두 그래프를 동형 그래프라고 합니다. 따라서 그림의 배치가 달라도 인접 관계가 일대일로 보존되면 같은 구조를 나타낼 수 있습니다.

부분 그래프는 무엇을 남겼는지로 판별한다

G=(V,E)에서 꼭지점과 변 일부를 골라 H=(V′,E′)를 만들고 V′⊆V, E′⊆E이면 H는 G의 부분 그래프입니다. 선택한 변의 끝점은 당연히 V′ 안에 있어야 합니다. 원래 그래프에 없던 변을 새로 그리거나, 끝점이 빠진 변만 남겨서는 부분 그래프가 되지 않습니다.

신장 부분 그래프는 V′=V인 부분 그래프입니다. 모든 꼭지점을 남기되 변은 일부 제거할 수 있습니다. 그러므로 변을 지운 결과 고립 꼭지점이 생겨도 모든 원래 꼭지점이 보존되었다면 신장 부분 그래프가 될 수 있습니다.

경계 검사: ‘부분’이라는 말만 보고 꼭지점도 반드시 줄어야 한다고 생각하면 안 됩니다. 부분 그래프는 꼭지점과 변을 원래 집합 안에서 선택하고, 신장 부분 그래프는 그중 꼭지점 집합 전체를 유지하는 경우입니다.

차수는 변을 꼭지점 쪽에서 센 값이다

무방향 그래프에서 꼭지점 v의 차수 deg(v)는 v에 발생하는 변의 수입니다. 일반적인 차수 계산에서 보통 변은 양 끝점에 각각 1씩 기여하고, 루프는 두 끝이 같은 꼭지점에 있으므로 그 꼭지점의 차수에 2를 기여합니다.

모든 꼭지점의 차수를 더하면 각 변의 양 끝을 한 번씩 세게 됩니다. 따라서 변이 |E|개인 무방향 그래프에는 다음 악수 정리가 성립합니다.

∑_v∈V deg(v) = 2|E|

예를 들어 차수 목록이 3, 3, 2, 2, 2, 2라면 총차수는 14이므로 변은 14÷2=7개입니다. 총차수는 언제나 짝수이고, 홀수 차수 꼭지점의 개수도 짝수입니다. 차수 목록의 합이 홀수라면 그 목록은 무방향 그래프에서 나올 수 없습니다.

이중 계수 장부: 변 하나를 추가할 때 총차수는 항상 2 증가합니다. 서로 다른 두 꼭지점을 잇는 변은 양쪽에 1씩, 루프는 같은 꼭지점에 2를 더합니다. 이 장부로 변의 누락과 루프의 오계산을 빠르게 찾을 수 있습니다.

방향 그래프에서는 들어오는 수와 나가는 수를 분리한다

방향 그래프의 변에는 출발점과 도착점이 있습니다. 꼭지점 v로 들어오는 변의 수를 진입차수 deg⁻(v), v에서 나가는 변의 수를 진출차수 deg⁺(v)라고 합니다. 방향 루프 하나는 같은 꼭지점의 진입차수와 진출차수에 각각 1을 더합니다.

모든 방향변에는 출발점 하나와 도착점 하나가 있으므로 전체 진입차수의 합과 전체 진출차수의 합은 모두 변의 수와 같습니다.

∑ deg⁻(v) = |E| = ∑ deg⁺(v)

예를 들어 세 꼭지점의 진입차수가 4,1,0이고 진출차수가 1,1,3이면 양쪽 합이 모두 5이므로 방향변은 5개입니다. 두 합이 다르다면 화살표를 하나 빠뜨렸거나 방향을 반대로 읽은 것입니다.

보행·트레일·경로는 무엇의 반복을 금지하는지가 다르다

꼭지점 v₀에서 v_k까지 꼭지점과 변을 번갈아 따라간 열을 보행(walk)이라 하고, 지나간 변의 수 k를 길이라고 합니다. 출발점과 도착점이 같으면 닫힌 보행입니다.

이동	변 반복	꼭지점 반복	핵심 판별
보행	허용	허용	연결된 순서로 움직이면 된다.
트레일	금지	허용	같은 변을 다시 지나지 않는다.
경로	금지	금지	서로 다른 꼭지점을 차례로 지난다.
사이클	금지	시작·끝만 같음	내부 꼭지점은 반복하지 않는 닫힌 경로다.

따라서 경로 ⊂ 트레일 ⊂ 보행입니다. 모든 경로는 트레일이고 모든 트레일은 보행이지만, 역은 항상 성립하지 않습니다. 예를 들어 다른 변으로 같은 꼭지점에 다시 돌아왔다면 변을 반복하지 않아 트레일일 수는 있어도 경로는 아닙니다.

길이가 k인 사이클을 k-사이클이라고 합니다. ‘닫혔다’는 사실만으로 사이클이라고 결론 내리지 말고, 출발·도착점을 제외한 꼭지점과 사용한 변의 반복 여부를 함께 확인해야 합니다.

연결성은 두 꼭지점 사이에 경로가 있는지를 묻는다

두 꼭지점 u와 v 사이에 경로가 있으면 두 꼭지점은 연결되어 있습니다. 그래프의 꼭지점들은 서로 연결되는 것끼리 묶여 서로 겹치지 않는 연결성분들로 구분됩니다. 모든 꼭지점 쌍 사이에 경로가 있으면 연결 그래프이며, 연결성분은 하나입니다.

고립 꼭지점도 혼자 하나의 연결성분을 이룹니다. 또한 어떤 두 꼭지점 사이에 직접 변이 없더라도 다른 꼭지점들을 거치는 경로가 있으면 연결되어 있습니다. 인접은 ‘한 변으로 직접 연결’, 연결은 ‘경로가 존재’라는 차이를 기억해야 합니다.

완전·이분·정규는 서로 다른 질문에 답한다

그래프의 종류를 분류할 때는 이름을 배타적인 상자로 생각하지 말고, 각각의 조건을 독립적으로 검사합니다. 하나의 그래프가 두 조건 이상을 동시에 만족할 수 있습니다.

종류	검사 질문	수치 규칙
완전 그래프 `K_n`	서로 다른 모든 꼭지점 쌍이 인접하는가?	`\|E\|=n(n−1)/2`, 각 차수 `n−1`
이분 그래프	V를 겹치지 않는 두 집합으로 나누어 모든 변이 두 집합 사이만 지나는가?	같은 부분집합 안에는 변이 없다.
완전 이분 그래프 `K_m,n`	두 부분집합 사이의 모든 꼭지점 쌍이 연결되는가?	`\|E\|=mn`
k-정규 그래프	모든 꼭지점의 차수가 같은 k인가?	`∑deg(v)=k\|V\|=2\|E\|`

K₅에는 5·4÷2=10개의 변이 있고 각 꼭지점의 차수는 4이므로 4-정규 그래프입니다. K_2,3에는 2·3=6개의 변이 있습니다. 첫 부분의 꼭지점들은 각각 차수 3, 둘째 부분의 꼭지점들은 각각 차수 2이므로 정규 그래프는 아닙니다. 반면 K_3,3은 모든 꼭지점의 차수가 3이므로 완전 이분 그래프이면서 3-정규 그래프입니다.

분류 오류 방지: 이분 그래프는 두 집합으로 나누는 것만으로 충분하지 않습니다. 모든 변이 두 집합 사이를 지나야 합니다. 완전 이분 그래프는 여기에 모든 가능한 교차 변이 존재한다는 조건이 추가됩니다.

발생행렬은 꼭지점과 변의 관계표다

발생행렬 M_I=(a_ij)은 꼭지점을 행, 변을 열에 놓은 |V|×|E| 크기의 부울행렬입니다. 꼭지점 v_i가 변 e_j에 발생하면 a_ij=1, 아니면 0입니다.

세 꼭지점에 e₁=v₁v₂, e₂=v₁v₃, e₃=v₂v₃가 있고 e₄가 v₂의 루프라면 강의의 부울 발생행렬은 다음과 같습니다.

	e₁	e₂	e₃	e₄
v₁	1	1	0	0
v₂	1	0	1	1
v₃	0	1	1	0

여기서 루프 e₄의 열에는 v₂ 행에 1 하나가 들어갑니다. 이는 강의가 발생 여부만 기록하는 부울행렬을 사용하기 때문입니다. 차수를 계산할 때 루프를 2로 세는 규칙과, 부울 발생행렬에서 발생 여부를 1로 기록하는 규칙을 섞지 않아야 합니다.

인접행렬은 꼭지점에서 꼭지점으로의 연결 개수를 센다

인접행렬 M_A=(a_ij)은 꼭지점을 행과 열에 모두 놓은 |V|×|V| 행렬입니다. 원소 a_ij는 v_i에서 v_j로 연결되는 변의 개수입니다. 평행변이 있으면 2 이상의 값도 들어갈 수 있습니다.

강의의 방향 그래프 예에서 인접행렬은 다음과 같습니다. 행은 출발점, 열은 도착점으로 읽습니다.

	v₁	v₂
v₁	1	0
v₂	1	0
v₃	2	1

a₃₁=2는 v₃에서 v₁로 향하는 변이 두 개라는 뜻이고, a₁₁=1은 v₁의 방향 루프 하나를 뜻합니다. 행의 합은 해당 꼭지점의 진출차수, 열의 합은 진입차수입니다. 무방향 그래프의 인접행렬은 연결을 양쪽에서 똑같이 기록하므로 주대각선을 기준으로 대칭이지만, 방향 그래프에서는 일반적으로 대칭일 필요가 없습니다.

인접 리스트는 각 꼭지점의 이웃을 직접 나열한다

인접 리스트는 각 꼭지점마다 인접한 꼭지점들을 연결 목록으로 기록합니다. 예를 들어 무방향 그래프의 변이 v₁v₂, v₁v₃, v₂v₃, v₃v₄라면 다음처럼 표현합니다.

v₁: v₂, v₃
v₂: v₁, v₃
v₃: v₁, v₂, v₄
v₄: v₃

무방향 변 v₁v₂는 v₁의 목록에도 v₂로, v₂의 목록에도 v₁로 나타납니다. 따라서 모든 목록 길이의 합은 총차수 2|E|와 같습니다. 방향 그래프에서는 보통 행에 해당하는 출발 꼭지점의 도착 이웃들을 나열하므로 읽는 방향을 먼저 정해야 합니다.

표현	행·열 또는 항목	바로 읽기 좋은 정보	검산 기준
발생행렬	꼭지점 × 변	어떤 변이 어느 꼭지점에 발생하는가	크기 `\|V\|×\|E\|`
인접행렬	꼭지점 × 꼭지점	두 꼭지점 사이 연결 개수와 방향	크기 `\|V\|×\|V\|`
인접 리스트	꼭지점별 이웃 목록	한 꼭지점에서 갈 수 있는 이웃	무방향이면 목록 길이 합 `2\|E\|`

하나의 그래프를 세 표현으로 번역하는 순서

목록을 고정합니다. 꼭지점 순서와 변 이름을 먼저 정합니다. 행과 열의 순서가 바뀌면 행렬 모양도 바뀝니다.
발생행렬을 만듭니다. 각 변의 끝점에 해당하는 행을 찾아 그 열에 1을 표시합니다.
인접행렬을 만듭니다. 행의 꼭지점에서 열의 꼭지점으로 가는 변을 세어 기록합니다.
인접 리스트를 만듭니다. 각 꼭지점에서 직접 연결된 이웃을 빠짐없이 적습니다.
수치로 교차 검산합니다. 행렬 크기, 행·열 합, 목록 길이 합을 차수와 변의 수에 맞춰 봅니다.

표현이 달라져도 그래프의 연결 정보는 같아야 합니다. 예를 들어 인접행렬의 v₃ 행에 v₄ 방향의 연결이 하나 있다면 v₃의 인접 리스트에도 v₄가 있어야 합니다. 무방향 그래프라면 반대 목록과 대칭 위치에도 같은 연결이 나타나야 합니다.

번역 검산: ‘발생행렬은 꼭지점×변, 인접행렬은 꼭지점×꼭지점’이라는 크기부터 확인하고, 방향 그래프에서는 반드시 ‘행=출발, 열=도착’을 고정하십시오.

핵심 개념 정리

구조: 그래프 G=(V,E)는 꼭지점과 변으로 관계를 추상화하며, 발생과 인접은 서로 다른 종류의 관계다.
차수: 무방향 그래프의 총차수는 2|E|이고 홀수 차수 꼭지점의 개수는 짝수다.
이동: 보행은 반복을 허용하고, 트레일은 변 반복을, 경로는 꼭지점 반복을 금지한다.
연결: 모든 꼭지점 쌍 사이에 경로가 있으면 연결 그래프이며 연결성분은 하나다.
분류: 완전 그래프는 모든 쌍, 이분 그래프는 두 집합 사이, 정규 그래프는 동일한 차수에 초점을 둔다.
표현: 발생행렬·인접행렬·인접 리스트는 같은 연결 구조를 서로 다른 질문에 맞게 저장한다.

그래프 문제를 만나면 먼저 꼭지점과 변을 정확히 목록화하고 루프·평행변·방향을 표시하십시오. 다음으로 차수의 합을 이용해 누락을 검산하고, 이동에서는 무엇이 반복되었는지, 분류에서는 어떤 조건을 만족하는지 따로 확인합니다. 마지막으로 행과 열의 의미를 고정한 뒤 행렬이나 리스트로 옮기면 그림이 달라져도 같은 그래프 구조를 일관되게 읽을 수 있습니다.

예상문제 10선

1. 단순 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 모든 꼭지점 쌍 사이에 반드시 변이 있다. ② 무방향이며 루프와 평행변이 없다. ③ 모든 꼭지점의 차수가 같다. ④ 고립 꼭지점이 존재할 수 없다.

정답입니다.

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정답: ②

① 오답: 모든 서로 다른 꼭지점 쌍이 인접하는 것은 완전 그래프의 조건이다.
② 정답: 단순 그래프는 루프와 평행변이 없는 무방향 그래프다.
③ 오답: 모든 꼭지점의 차수가 같은 것은 정규 그래프의 조건이다.
④ 오답: 차수 0인 고립 꼭지점이 있어도 루프나 평행변이 없다면 단순 그래프일 수 있다.

2. 무방향 그래프의 꼭지점 차수가 3,3,2,2,2,2일 때 변의 수는?

① 7개 ② 8개 ③ 12개 ④ 14개

정답입니다.

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정답: ①

① 정답: 총차수는 14이고 악수 정리에 따라 2|E|=14이므로 변은 7개다.
② 오답: 차수 목록을 더한 뒤 반드시 2로 나누어야 한다.
③ 오답: 꼭지점 수와 차수를 단순히 곱할 수 있는 정규 그래프가 아니다.
④ 오답: 14는 변의 수가 아니라 각 변을 두 번 센 총차수다.

3. 보행·트레일·경로의 관계를 올바르게 설명한 것은?

① 트레일은 꼭지점 반복을 금지하지만 변 반복은 허용한다. ② 보행은 어떤 꼭지점이나 변도 반복할 수 없다. ③ 모든 보행은 트레일이며 모든 트레일은 경로다. ④ 경로는 꼭지점을 반복하지 않고, 트레일은 변을 반복하지 않는다.

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 트레일이 금지하는 것은 변의 반복이며 꼭지점은 반복할 수 있다.
② 오답: 보행은 연결된 순서를 지키면 꼭지점과 변을 반복할 수 있다.
③ 오답: 포함 관계는 반대 방향인 경로 ⊂ 트레일 ⊂ 보행이다.
④ 정답: 경로의 조건이 더 강하므로 경로는 언제나 트레일이기도 하다.

4. 꼭지점 a와 d 사이에 직접 변은 없지만 a-b-c-d라는 경로가 있다. 옳은 판단은?

① a와 d는 인접하면서 연결되어 있다. ② a와 d는 인접하지 않지만 연결되어 있다. ③ a와 d는 서로 다른 연결성분에 있다. ④ 직접 변이 없으므로 경로도 존재할 수 없다.

정답입니다.

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정답: ②

① 오답: 인접하려면 a와 d를 직접 잇는 변이 있어야 한다.
② 정답: 직접 변은 없어도 중간 꼭지점을 거치는 경로가 있으므로 연결되어 있다.
③ 오답: 경로가 존재하는 두 꼭지점은 같은 연결성분에 속한다.
④ 오답: 경로는 여러 변을 연속해 구성할 수 있다.

5. 완전 그래프 K₆의 변의 수와 각 꼭지점의 차수는?

① 변 6개, 차수 5 ② 변 12개, 차수 6 ③ 변 15개, 차수 5 ④ 변 30개, 차수 10

정답입니다.

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정답: ③

① 오답: 6은 꼭지점 수일 뿐 모든 쌍을 잇는 변의 수가 아니다.
② 오답: 각 꼭지점은 자신을 제외한 5개 꼭지점에만 인접한다.
③ 정답: 6·5÷2=15이고 각 꼭지점의 차수는 6−1=5다.
④ 오답: 30은 각 연결을 양 끝에서 두 번 센 총차수다.

6. 완전 이분 그래프 K_2,4에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 변은 6개이고 모든 꼭지점의 차수는 2다. ② 변은 8개이고 모든 꼭지점의 차수는 4다. ③ 변은 12개이며 3-정규 그래프다. ④ 변은 8개이고 두 부분의 꼭지점 차수는 각각 4와 2다.

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 변의 수는 두 부분의 크기의 합이 아니라 곱이다.
② 오답: 크기 4인 부분의 꼭지점은 반대편 2개와 연결되어 차수가 2다.
③ 오답: 2·4=8이고 두 부분의 차수가 달라 정규 그래프가 아니다.
④ 정답: 가능한 교차 쌍은 8개이며 크기 2인 쪽의 차수는 4, 크기 4인 쪽은 2다.

7. G에서 변 일부를 제거해 H를 만들었다. H가 G의 신장 부분 그래프임을 보장하는 추가 조건은?

① H가 G의 모든 꼭지점을 그대로 포함한다. ② H의 모든 꼭지점 차수가 서로 같다. ③ H에 고립 꼭지점이 하나도 없다. ④ H에 G에 없던 변을 하나 이상 추가한다.

정답입니다.

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정답: ①

① 정답: 신장 부분 그래프는 변 일부를 선택할 수 있지만 꼭지점 집합은 원래 그래프와 같아야 한다.
② 오답: 정규성은 신장 부분 그래프의 조건이 아니다.
③ 오답: 변을 제거해 고립 꼭지점이 생겨도 그 꼭지점을 남기면 신장일 수 있다.
④ 오답: 부분 그래프의 변은 원래 변 집합의 부분집합이어야 한다.

8. 꼭지점 5개와 변 7개인 그래프의 발생행렬과 인접행렬 크기를 차례로 바르게 쓴 것은?

① 7×5, 7×7 ② 5×5, 5×7 ③ 5×7, 5×5 ④ 7×7, 5×5

정답입니다.

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정답: ③

① 오답: 발생행렬의 행은 변이 아니라 꼭지점이다.
② 오답: 두 행렬의 열 대상을 서로 바꾸어 썼다.
③ 정답: 발생행렬은 |V|×|E|, 인접행렬은 |V|×|V|다.
④ 오답: 발생행렬은 변×변 정사각행렬이 아니다.

9. 방향 그래프의 인접행렬에서 v₃의 행이 [2,1,0]일 때 알 수 있는 것은?

① v₃의 진입차수는 반드시 3이다. ② v₁에서 v₃로 향하는 변이 두 개다. ③ v₃에는 방향 루프가 한 개 있다. ④ v₃에서 나가는 변은 모두 3개이며 그중 두 개가 v₁로 향한다.

정답입니다.

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정답: ④

① 오답: 행의 합은 진입차수가 아니라 진출차수다.
② 오답: 행은 출발점을 나타내므로 방향을 반대로 읽었다.
③ 오답: 대각 원소 a₃₃이 0이므로 v₃의 루프는 없다.
④ 정답: 행의 합은 3이고 첫 원소 2는 v₃에서 v₁로 가는 변 두 개를 뜻한다.

10. 무방향 그래프의 인접 리스트 길이가 차례로 2,2,3,1이다. 반드시 옳은 것은?

① 이 그래프는 2-정규 그래프다. ② 목록 길이의 합은 8이고 변은 4개다. ③ 홀수 차수 꼭지점이 1개이므로 가능한 차수 목록이다. ④ 인접행렬의 크기는 4×8이다.

정답입니다.

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정답 및 해설 보기

정답: ②

① 오답: 차수 3과 1인 꼭지점이 있으므로 모든 차수가 2가 아니다.
② 정답: 무방향 인접 리스트의 전체 길이는 총차수 8이고 악수 정리에 따라 변은 4개다.
③ 오답: 홀수 차수는 3과 1인 두 꼭지점이므로 2개다.
④ 오답: 꼭지점이 4개이므로 인접행렬은 4×4다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 그래프의 국소 구조, 이동, 종류와 표현을 한 그래프에서 교차 검산할 수 있도록 계산 예제와 오류 분석을 구성했습니다.

작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
주요 근거: 한국방송통신대학교 이산수학 9강 「그래프(I)」 강의자료 48쪽(2021) :codex-file-citation{path="K1. 컴퓨터과학과/1. 재검토필요/2-1 이산수학/1. 강의록/이산수학_강의록_9강.pdf" purpose="source"}
자료 성격: 강의자료의 정의와 범위를 바탕으로 재구성한 비공식 학습자료
편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
최종 내용 검토: 2026-09-06

방송대 이산수학 9강: 그래프의 구조와 표현