방송대 이산수학 7강: 함수 판별과 역함수·합성함수

화살표가 그려져 있다고 모두 함수는 아닙니다. 정의역의 각 입력이 정확히 하나의 출력으로 가는지, 공역에 빈자리가 있는지, 서로 다른 입력이 충돌하는지를 차례로 보아야 합니다. 이 글은 그 세 검사를 출발점으로 함수의 상등, 전사·단사·전단사, 역함수와 합성함수를 연결하고 계승·바닥·천장·나머지 함수의 계산까지 재현할 수 있게 안내합니다.

화살표 그림은 입력 세 가지를 먼저 감사한다

집합 X에서 Y로 가는 관계가 함수인지 판정할 때는 화살표의 전체 모양보다 정의역 X의 각 원소를 하나씩 조사하는 편이 안전합니다. 모든 x∈X에 대해 f(x)=y인 y∈Y가 정확히 하나 존재해야 함수입니다. 논리식의 ∃!는 ‘존재하면서 유일하다’는 뜻입니다.

입력 감사 결과	함수 여부	판정 이유
한 입력에서 화살표가 없음	함수 아님	그 입력의 상이 존재하지 않음
한 입력에서 서로 다른 두 출력으로 감	함수 아님	상이 유일하지 않음
여러 입력이 같은 출력으로 모임	함수일 수 있음	각 입력의 출력은 여전히 하나씩임
공역의 일부가 아무 화살표도 받지 못함	함수일 수 있음	함수 정의는 우선 정의역의 입력을 검사함

예를 들어 X={p,q,r}, Y={1,2,3}에서 p→1, q→1, r→3이면 함수입니다. 2가 선택되지 않았고 두 입력이 1로 모였지만, p·q·r 각각은 출력 하나만 가집니다. 반대로 r의 화살표가 없거나 r이 2와 3으로 동시에 가면 함수가 아닙니다.

함수 판별 질문: 공역에 화살표가 모두 도착했는지를 보기 전에, 정의역의 모든 입력에서 화살표가 ‘하나씩만’ 출발했는지를 확인합니다.

정의역·공역·치역은 서로 다른 자리를 맡는다

함수 f:X→Y에서 X는 입력 후보 전체인 정의역, Y는 출력이 놓일 수 있다고 미리 정한 공역입니다. 실제로 나온 출력들의 집합 f(X)={f(x) | x∈X}가 치역이며 언제나 f(X)⊆Y입니다.

강의자료의 대응 1→a, 2→b, 3→c와 X={1,2,3}, Y={a,b,c,d}를 보면 정의역은 X, 공역은 Y, 치역은 {a,b,c}입니다. 1의 상은 a이고, b의 역상은 2입니다. 공역의 d가 치역에 들어오지 않는다는 사실은 이 관계가 함수가 아니라는 뜻이 아니라 전사함수가 아니라는 뜻입니다.

용어 교정: ‘상의 집합’인 치역과 ‘출력 후보 전체’인 공역을 같다고 가정하면 전사 판정이 무너집니다. 먼저 화살표로 실제 도착한 값만 모아 치역을 만든 뒤 공역과 비교하세요.

상수함수와 항등함수는 출력 규칙의 양끝을 보여 준다

상수함수는 모든 입력을 하나의 고정된 값 c로 보냅니다. 정의역에 원소가 여러 개라면 서로 다른 입력들이 같은 출력에 모이므로 보통 단사가 아닙니다. 항등함수 I_X:X→X는 모든 x를 자기 자신으로 보내는 I_X(x)=x인 함수입니다.

항등함수는 합성에서 아무 변화도 주지 않는 기준점이 됩니다. f:X→Y라면 f∘I_X=f이고 I_Y∘f=f입니다. 앞 식에서는 입력 쪽 항등함수가 먼저 작동하고, 뒤 식에서는 출력 쪽 항등함수가 나중에 작동한다는 점에서 아래첨자까지 확인해야 합니다.

함수의 상등은 공식 하나만 비교해서 끝나지 않는다

두 함수가 같으려면 정의역과 공역이 각각 같고, 정의역의 모든 입력에서 함수값도 같아야 합니다. 같은 식을 사용해도 정의역이나 공역이 다르면 다른 함수이고, 식의 모양이 달라도 모든 입력에서 같은 값을 내면 같은 함수일 수 있습니다.

강의자료의 f(x)=|x+1|과 g(x)=√((x+1)²)는 둘 다 실수에서 실수로 가며 모든 실수 x에 대해 값이 같습니다. 제곱근 기호는 0 이상인 주값을 뜻하므로 √(u²)=|u|이고, 따라서 f=g입니다.

반대로 학습을 위해 h:{0,1}→ℝ, h(x)=x²와 k:{0,1}→ℤ, k(x)=x²를 비교해 봅시다. 두 입력에서 값은 같지만 공역이 ℝ과 ℤ로 다르므로 함수로서는 상등이 아닙니다.

상등 검사 순서: 정의역 비교 → 공역 비교 → 모든 입력의 함수값 비교. 식이 같아 보인다는 이유로 앞의 두 검사를 생략하지 않습니다.

전사는 빈자리를, 단사는 충돌을 찾는다

함수 여부를 확인한 다음에는 같은 화살표 그림을 공역과 입력 쌍의 관점에서 다시 읽습니다. 전사함수는 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 역상을 가져 치역과 공역이 같은 함수입니다. 단사함수는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 갖는 함수입니다. 두 조건을 모두 만족하면 전단사함수입니다.

검사	찾아야 할 반례	반례가 없을 때
함수	출력이 없거나 둘 이상인 정의역 원소	각 입력의 출력이 정확히 하나
전사	아무 입력도 도착하지 않은 공역 원소	치역=공역
단사	`x₁≠x₂`인데 `f(x₁)=f(x₂)`인 충돌	같은 출력이면 입력도 같음
전단사	빈자리 또는 충돌 중 하나	공역의 각 원소에 입력이 정확히 하나 대응

강의자료의 f:ℤ→ℤ, f(x)=2x는 단사이지만 전사는 아닙니다. 서로 다른 정수에 2를 곱하면 결과도 다르지만, 치역은 짝수뿐이라 홀수인 공역 원소에 빈자리가 생깁니다.

같은 식도 공역이 바뀌면 함수의 종류가 바뀐다

f(x)=2x라는 계산 규칙을 그대로 두고 공역만 짝수 집합 2ℤ={2k | k∈ℤ}로 바꾸어 f:ℤ→2ℤ로 정의하면 상황이 달라집니다. 모든 짝수 y는 어떤 정수 k에 대해 y=2k이고 f(k)=y이므로 전사입니다. 단사 성질도 유지되므로 이제 전단사입니다.

이 경계 사례는 전사·단사가 식만의 성질이 아니라 정의역, 공역, 대응 규칙을 함께 본 함수 전체의 성질임을 보여 줍니다. 공역을 실제 치역으로 좁히면 전사가 될 수 있지만, 원래 문제의 공역을 임의로 바꾸어 답해서는 안 됩니다.

잘못된 판단: “2x는 모든 짝수를 만들므로 전사다”라고만 쓰면 공역을 생략한 오류입니다. 공역이 ℤ이면 홀수가 비고, 공역이 2ℤ이면 빈자리가 없습니다.

역관계가 역함수가 되려면 전단사가 필요하다

함수 f의 순서쌍을 뒤집어 만든 역관계 f^-1가 다시 함수가 되려면 f가 전단사여야 합니다. f가 전사가 아니면 원래 공역의 어떤 원소는 뒤집었을 때 출력이 없고, f가 단사가 아니면 같은 출력에 모인 여러 입력이 뒤집혔을 때 한 입력에서 여러 출력으로 갈라집니다.

원래 함수의 실패	화살표를 뒤집은 뒤	역함수 실패 원인
전사 아님: 공역에 빈자리	새 정의역의 그 원소에 화살표가 없음	모든 입력에 출력이 존재하지 않음
단사 아님: 두 입력이 충돌	새 입력 하나에서 둘로 화살표가 갈라짐	출력이 유일하지 않음
전단사	각 원소가 정확히 하나씩 왕복	역관계가 함수가 됨

따라서 역함수를 구하기 전에 전단사인지 확인해야 합니다. 역함수가 존재하면 f^-1∘f=I_X, f∘f^-1=I_Y이고, 역함수의 역함수는 원래 함수입니다.

역함수는 식을 푼 뒤 왕복으로 검산한다

학습을 위해 f:ℝ→ℝ, f(x)=3x-5를 직접 구성해 보겠습니다. 기울기가 0이 아닌 일차함수이므로 실수 전체에서 전단사입니다. 역함수를 구할 때는 출력 자리에 y를 두고 x에 관해 푼 뒤 변수 이름을 정리합니다.

y = 3x - 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5) / 3

따라서 f⁻¹(x) = (x + 5) / 3

답을 얻은 뒤에는 두 방향을 모두 합성합니다.

f⁻¹(f(x)) = ((3x - 5) + 5) / 3 = x
f(f⁻¹(x)) = 3((x + 5) / 3) - 5 = x

한 방향만 맞는 계산은 정의역·공역을 잘못 잡았을 가능성을 남깁니다. 식 변형뿐 아니라 두 합성이 각각 알맞은 항등함수가 되는지 확인해야 역함수 검산이 완성됩니다.

합성함수는 오른쪽 함수부터 통과하는 파이프라인이다

f:X→Y′, g:Y→Z이고 Y′⊆Y이면 합성함수 g∘f:X→Z를 (g∘f)(x)=g(f(x))로 정의합니다. 입력 x는 먼저 f를 통과하고, 그 결과가 g의 입력이 됩니다. 기호는 g∘f이지만 실행은 오른쪽의 f부터라는 점이 핵심입니다.

직접 만든 예에서 f(x)=2x-1, g(x)=x²라면 다음처럼 순서에 따라 결과가 달라집니다.

(g∘f)(x) = g(2x-1) = (2x-1)²
(f∘g)(x) = f(x²)   = 2x²-1

x=2일 때 (g∘f)(2)=9, (f∘g)(2)=7

따라서 합성은 일반적으로 교환되지 않습니다. 다만 괄호를 묶는 방식은 바꿀 수 있어 (f∘g)∘h=f∘(g∘h)인 결합법칙이 성립합니다. 전사함수끼리 합성하면 전사이고 단사함수끼리 합성하면 단사입니다. 전단사 f와 g의 합성은 전단사이며, 되돌릴 때는 실행의 역순으로 (g∘f)^-1=f^-1∘g^-1이 됩니다.

합성 추적법: 오른쪽 함수의 정의역에서 출발 → 첫 출력이 왼쪽 함수의 입력 범위에 들어가는지 확인 → 값을 차례로 대입 → 역합성은 순서를 뒤집어 복원합니다.

계승함수는 0의 정의와 약분 범위를 함께 본다

음이 아닌 정수 n에 대해 계승함수는 0!=1, n≥1이면 n!=1×2×···×n으로 정의됩니다. 또한 n!=n(n-1)!이므로 큰 수를 전부 계산하지 않고 인접한 항을 약분할 수 있습니다.

4! = 4×3×2×1 = 24
5!/4! = (5×4!)/4! = 5
(n-2)!/n! = (n-2)!/[n(n-1)(n-2)!]
            = 1/[n(n-1)]   (n≥2)

마지막 식에서 n≥2라는 조건이 필요합니다. 원래 계승함수의 입력은 음이 아닌 정수이므로 (n-2)!가 정의되어야 하고, 분모의 n(n-1)도 0이 아니어야 합니다. 결과식만 외우면 이 범위 조건을 놓치기 쉽습니다.

바닥과 천장은 음수에서 방향을 잃기 쉽다

바닥함수 ⌊x⌋는 x보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 값이고, 천장함수 ⌈x⌉는 x보다 크거나 같은 정수 중 가장 작은 값입니다. 수직선에서 x의 왼쪽 정수는 바닥, 오른쪽 정수는 천장이라고 보면 부호에 흔들리지 않습니다.

x	`⌊x⌋`	`⌈x⌉`	판정 근거
2.6	2	3	`2≤2.6≤3`
-2.6	-3	-2	`-3≤-2.6≤-2`
3	3	3	이미 정수이면 두 값이 같음

항상 x-1<⌊x⌋≤x, x≤⌈x⌉<x+1이고 정수 k에 대해 ⌊k+x⌋=k+⌊x⌋, ⌈k+x⌉=k+⌈x⌉입니다. 두 함수는 ⌈x⌉=-⌊-x⌋로도 연결됩니다.

오류 원인: 바닥을 ‘소수점 버림’으로 생각하면 ⌊-2.6⌋을 -2로 잘못 계산합니다. -2는 -2.6보다 크므로 바닥 후보가 아니고, 조건을 만족하는 가장 큰 정수는 -3입니다.

나머지 함수는 바닥몫으로 부호까지 결정한다

강의자료는 두 정수 n,m과 m≠0에 대해 나머지 함수를 n mod m=n-m⌊n/m⌋으로 계산합니다. 먼저 실수 나눗셈의 바닥값을 몫 q로 정하고, r=n-mq로 나머지를 구합니다.

5 mod 3:
q = ⌊5/3⌋ = 1,  r = 5 - 3×1 = 2

5 mod (-3):
q = ⌊5/(-3)⌋ = ⌊-1.666…⌋ = -2
r = 5 - (-3)×(-2) = -1

(-5) mod (-3):
q = ⌊(-5)/(-3)⌋ = ⌊1.666…⌋ = 1
r = -5 - (-3)×1 = -2

양의 나눗수 m에서는 0≤r<m이고, 음의 나눗수에서는 m<r≤0이 됩니다. 음수 계산에서 정수 나눗셈을 단순히 0 쪽으로 버리면 강의자료의 바닥함수 정의와 다른 결과가 나오므로, 반드시 ⌊n/m⌋부터 표시하세요.

처음 보는 함수는 입력에서 역연산까지 추적한다

단계	핵심 질문	확인 결과
함수 판별	정의역의 각 입력에 출력이 정확히 하나인가?	함수인지 관계에 머무는지 결정
범위 기록	정의역·공역·실제 치역은 무엇인가?	상등과 전사 판정의 기준 확보
화살표 감사	공역의 빈자리와 입력 간 충돌이 있는가?	전사·단사·전단사 분류
역방향 검사	뒤집은 관계도 입력마다 출력이 하나인가?	역함수 존재 여부 결정
파이프라인	오른쪽 함수의 출력이 다음 함수에 들어가는가?	합성의 정의 가능성과 값 계산
정수화 계산	계승의 범위, 바닥·천장 방향, 바닥몫을 지켰는가?	특수 함수의 부호·경계 오류 방지

이 흐름은 하나의 그림이나 식을 여러 질문으로 다시 읽게 합니다. 함수라는 첫 관문을 통과했다고 전사나 단사까지 자동으로 확보되는 것은 아니며, 역관계가 있다고 해서 역함수가 되는 것도 아닙니다. 각 단계의 질문을 분리하면 조건 누락을 빠르게 찾을 수 있습니다.

핵심 개념 정리

함수는 정의역의 모든 입력에 출력이 정확히 하나씩 대응하는 관계이며, 공역의 빈자리는 함수 여부가 아니라 전사 여부에 영향을 줍니다.
함수의 상등은 정의역·공역·모든 함수값이 함께 같아야 하고, 전사는 빈자리, 단사는 출력 충돌로 판정합니다.
전단사함수의 역관계만 역함수가 되며, 두 방향의 합성이 각각 항등함수가 되는지로 검산합니다.
합성함수는 오른쪽 함수부터 실행하고 일반적으로 교환되지 않지만 결합법칙은 성립합니다.
계승은 입력 범위와 0!=1을, 바닥·천장은 수직선 방향을, 나머지는 바닥몫을 먼저 확인해야 합니다.

함수 문제를 만나면 입력마다 하나의 출력인지 → 정의역·공역·치역이 무엇인지 → 빈자리와 충돌이 있는지 → 역방향도 함수인지 → 합성 순서가 맞는지를 따라가세요. 수치 함수에서는 정의역 조건을 확인한 뒤, 음수 바닥·천장은 수직선으로, 나머지는 바닥몫과 n=mq+r의 복원식으로 검산하면 됩니다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료 47쪽 전체를 확인하고 표지·학습 목표·본문·정리·다음 강의 안내를 구분한 뒤, 7강의 함수 판별, 함수의 상등, 전사·단사·전단사, 역함수와 합성함수, 계승·바닥·천장·나머지 함수를 입력과 출력의 추적 흐름으로 재구성한 비공식 학습자료입니다. 직접 구성한 함수와 계산 예시는 정의역·공역, 합성 순서와 수치 결과를 다시 검토했습니다.

작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과 이산수학 7강 「함수」 강의자료(2021) :codex-file-citation{path="K1. 컴퓨터과학과/1. 재검토필요/2-1 이산수학/1. 강의록/이산수학_강의록_7강.pdf" purpose="source"}
편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
최종 내용 검토: 2026-09-05

방송대 이산수학 7강: 함수 판별과 역함수·합성함수