방송대 이산수학 12강: 경우의 수 선택법과 이산확률

방송대 이산수학 12강: 경우의 수 선택법과 이산확률

조합이론 문제의 어려움은 계산보다 공식 선택에 있습니다. 같은 ‘뽑기’라도 순서와 중복 허용 여부에 따라 순열·중복순열·조합이 갈리고, 사건이 겹치면 단순히 더해서는 안 됩니다. 이 글은 조건을 판정하는 질문에서 출발해 경우의 수, 확률, 점화식과 비둘기집 원리를 한 흐름으로 연결합니다.

공식보다 먼저 네 가지 질문에 답한다

문제의 숫자를 보자마자 팩토리얼을 쓰면 순서를 세어야 하는지, 같은 대상을 다시 골라도 되는지 놓치기 쉽습니다. 먼저 상황을 작은 선택 단계로 나누고 다음 질문에 답해야 합니다.

1. 단계가 이어지는가, 대안으로 갈리는가? 이어지는 선택은 곱하고, 서로 겹치지 않는 대안은 더합니다.
2. 선택 순서가 결과를 바꾸는가? 반장·부반장처럼 역할이 다르면 순열, 위원 두 명처럼 역할이 같으면 조합입니다.
3. 같은 원소를 다시 사용할 수 있는가? 가능하면 각 자리의 선택 수가 반복되므로 중복순열을 검토합니다.
4. 사건이나 경우가 서로 겹치는가? 겹치면 합의 법칙에서 교집합을 빼야 중복 계산을 피할 수 있습니다.

조건	선택할 도구	핵심 식
연속된 각 단계를 모두 거침	곱의 법칙	m×n
서로소인 대안 중 하나	합의 법칙	m+n
겹칠 수 있는 두 사건 중 하나	포함배제	|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
순서 있음, 중복 없음	순열	P(n,r)=n!/(n−r)!
순서 있음, 중복 허용	중복순열	nr
순서 없음	조합	C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]

판단 핵심: 공식 이름을 문제의 명사와 연결하지 말고, 한 결과를 만드는 선택 과정과 결과의 동일성 기준을 먼저 정합니다. 같은 원소를 골라도 순서가 다르면 다른 결과인지가 순열과 조합을 가르는 기준입니다.

연속 선택은 곱하고 대안 선택은 겹침을 확인한다

곱의 법칙은 한 결과를 여러 단계로 만든다

첫 단계의 경우가 m가지이고 각 경우마다 둘째 단계가 n가지라면 두 단계를 모두 거치는 경우는 m×n가지입니다. 강의의 이중 반복문은 바깥 반복이 6번, 안쪽 반복이 매번 4번 실행되므로 별표를 6×4=24회 출력합니다. 8비트의 각 자리에 0 또는 1을 독립적으로 놓는 경우도 2를 여덟 번 곱해 2⁸=256가지입니다.

학습용 예로 상의 3벌과 하의 5벌 중 하나씩 골라 한 벌을 구성하면 3×5=15가지입니다. ‘상의 또는 하의 중 하나만 산다’면 같은 숫자를 쓰더라도 3+5=8가지이므로, 동시에 거치는 단계인지 대안인지가 연산을 바꿉니다.

합의 법칙은 서로소 조건을 먼저 검사한다

A 또는 B가 일어나는 경우를 셀 때 A∩B=∅이면 |A∪B|=|A|+|B|입니다. 겹치는 경우가 있으면 그 경우가 두 번 더해지므로 한 번 빼서 |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|로 계산합니다. 세 집합에서는 각 집합을 더하고 두 집합씩의 교집합을 빼며, 세 집합의 교집합을 다시 더합니다.

강의의 8비트 예에서 ‘100’으로 시작하는 비트열은 뒤 5자리가 자유로워 2⁵=32개이고, ‘100’으로 끝나는 비트열도 32개입니다. 두 조건을 모두 만족하면 가운데 2자리만 자유로워 2²=4개입니다. 따라서 32+32−4=60개입니다.

잘못된 접근: ‘또는’이라는 말만 보고 32+32=64로 끝내면 양쪽 조건을 모두 만족하는 네 비트열을 두 번 센 셈입니다. 합하기 전에 교집합이 비어 있는지 확인하고, 비어 있지 않으면 반드시 중복분을 뺍니다.

배열 문제는 순서·중복·회전의 세 축으로 분류한다

서로 다른 원소를 순서 있게 뽑는 순열

n개 중 중복 없이 r개를 순서 있게 고르는 경우는 첫 자리에 n개, 둘째 자리에 n−1개가 가능하므로 P(n,r)=n(n−1)…(n−r+1)=n!/(n−r)!입니다. 1부터 5까지의 숫자를 한 번씩만 써서 세 자리 수를 만들면 P(5,3)=5×4×3=60가지입니다.

격자에서 오른쪽으로 6번, 위로 4번만 움직이는 최단 경로는 총 10번의 이동 중 위쪽 이동 4개의 위치를 고르는 문제입니다. 같은 방향 이동끼리는 서로 구별되지 않으므로 10!/(6!4!)=C(10,4)=210가지입니다.

중복이 생기는 두 상황은 식이 다르다

중복순열은 n종류 중에서 매번 다시 선택할 수 있고 순서를 고려해 r자리를 채우는 경우로 n^r가지입니다. 다섯 문자 중 중복을 허용해 세 자리를 만들면 5³=125가지입니다.

반면 이미 같은 원소가 섞인 n개를 모두 배열하는 문제에서는 같은 원소끼리 자리를 바꾼 중복을 나눕니다. 중복 개수가 p,q,…라면 n!/(p!q!…)입니다. 직접 구성한 예로 LEVEL의 다섯 문자는 L과 E가 각각 두 개이므로 5!/(2!2!)=30가지입니다.

원순열은 회전한 배치를 같은 것으로 본다

n명을 원탁에 앉힐 때 전체를 한 칸씩 돌린 배치는 같은 상대 위치를 나타냅니다. 한 사람의 자리를 고정해 회전 중복 n개를 제거하면 (n−1)!가지입니다. 강의의 여섯 명 원탁에서 철수와 영희가 마주 앉는 조건은 철수를 기준으로 영희 자리가 하나로 정해지므로, 나머지 네 명을 배치하는 4!=24가지입니다.

구분 순서: 자리가 직선인지 원형인지, 순서가 결과를 바꾸는지, 재선택을 허용하는지, 이미 같은 원소가 주어졌는지를 차례로 확인합니다. ‘중복’이라는 단어가 있어도 재선택 문제의 n^r과 같은 원소 배열의 나눗셈은 서로 다른 상황입니다.

순서를 버리면 조합이 되고 계수는 이항정리로 이어진다

n개 중 r개를 순서 없이 고르는 조합은 한 선택 집합을 r!개의 순서로 중복해 센 순열에서 그 중복을 나눈 값입니다.

C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/[r!(n−r)!]

일곱 명 중 역할 구분 없이 두 명의 위원을 고르면 C(7,2)=21가지지만, 반장과 부반장을 고르면 두 역할의 순서가 구별되어 P(7,2)=42가지입니다. 또한 r개를 고르는 것과 고르지 않을 n−r개를 정하는 것은 같은 선택이므로 C(n,r)=C(n,n−r)입니다. 강의의 12명 중 9명 선발은 탈락할 3명을 고르는 C(12,3)=220으로 더 간단히 계산할 수 있습니다.

이항정리의 계수는 항을 선택하는 경우의 수다

(x+y)ⁿ은 (x+y)를 n번 곱한 식입니다. x^n−ky^k를 만들려면 n개의 괄호 중 y를 택할 k개를 고르면 되므로 계수는 C(n,k)입니다.

(x+y)ⁿ=Σ_k=0ⁿC(n,k)x^n−ky^k

(x+y)¹²에서 x⁴y⁸의 계수는 y를 고를 여덟 괄호를 정하는 C(12,8)=C(12,4)=495입니다. 지수의 합이 12인지 먼저 확인한 뒤, 어느 문자의 지수를 k로 잡더라도 대칭성 때문에 같은 답을 얻는지 검산할 수 있습니다.

이산확률은 경우의 수를 표본공간 위의 비율로 바꾼다

표본공간 S는 실험에서 가능한 모든 결과의 집합이고, 사건 E는 S의 부분집합입니다. 유한한 표본공간에서 각 기본 결과가 같은 가능성을 가질 때 P(E)=|E|/|S|입니다. 주사위를 두 번 던지는 순서쌍은 6×6=36개이고, 합이 3인 결과는 (1,2), (2,1) 두 개이므로 확률은 2/36=1/18입니다.

경우의 수와 마찬가지로 사건이 겹치면 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)입니다. A와 B가 서로소일 때만 교집합 항이 0이 되어 단순한 덧셈이 됩니다.

조건부확률은 표본공간을 B로 좁힌다

P(B)>0일 때 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)입니다. B가 일어났다는 정보를 받은 뒤에는 전체 S가 아니라 B만 새 분모가 되고, 그중 A도 함께 일어나는 부분이 분자가 됩니다.

강의의 중고차 예에서 내비게이션이 없는 사건을 B, 블랙박스가 없는 사건을 A라 하면 P(B)=0.3입니다. 둘 중 하나라도 있는 비율이 0.9이므로 둘 다 없는 비율 P(A∩B)=0.1입니다. 따라서 P(A|B)=0.1/0.3=1/3≈0.333, 즉 약 33.3%입니다.

수치 교정: 강의 슬라이드의 마지막 표기 ‘0.33%’는 소수와 백분율을 혼동한 것으로 보입니다. 0.33은 약 33%이고, 정확한 계산 1/3을 백분율로 쓰면 약 33.3%입니다.

점화식은 이전 항의 규칙을 일반항으로 펼친다

점화식은 수열의 한 항을 앞선 항들의 함수로 나타낸 관계식입니다. 점화식을 푼다는 것은 초기조건까지 사용해 a_n을 n에 관한 직접식인 일반항으로 나타내는 일입니다. 같은 점화식이라도 초기값이 다르면 다른 수열이 되므로 두 정보가 모두 필요합니다.

수열 1,4,7,10,…을 a₀=1로 시작하면 a_n=a_n−1+3입니다. 한 번 대입하면 a_n−1+3, 두 번이면 a_n−2+2·3이고 n번 펼치면 a₀+3n이므로 a_n=1+3n입니다. n=0과 n=3을 넣어 각각 1과 10이 나오는지 확인하면 인덱스 오류를 잡을 수 있습니다.

c_n=2c_n−1+1, c₁=1도 같은 방식으로 펼칩니다.

1. c_n=2(2c_n−2+1)+1=2²c_n−2+2+1
2. 반복하면 c_n=2ⁿ⁻¹c₁+2ⁿ⁻²+…+2+1
3. c₁=1을 넣고 등비합을 계산하면 c_n=2ⁿ−1

검산은 일반항을 점화식에 되넣어 합니다. 2c_n−1+1=2(2ⁿ⁻¹−1)+1=2ⁿ−1이므로 관계식을 만족하고, n=1에서도 2¹−1=1로 초기값과 일치합니다.

오답 방지: 차이가 3인 수열을 a_n=1+3n으로 쓸 수 있는 것은 시작항을 a₀=1로 잡았기 때문입니다. a₁=1로 번호를 붙이면 일반항은 3n−2가 됩니다. 점화식 풀이에서 항 번호를 먼저 확인하십시오.

비둘기집 원리는 평균을 넘는 상자의 존재를 보장한다

k개의 상자에 N개의 물체를 넣으면 적어도 한 상자에는 ⌈N/k⌉개 이상의 물체가 들어갑니다. 이는 배치 방법을 알려 주는 공식이 아니라 어떤 배치를 하더라도 피할 수 없는 최소 집중도를 보장하는 원리입니다. 예를 들어 25개 파일을 6개 폴더에 나누면 적어도 한 폴더에는 ⌈25/6⌉=5개 이상이 들어갑니다. 모두 4개 이하라면 총 24개밖에 담을 수 없어 모순입니다.

도형 문제에서는 상자를 어떻게 나눌지가 핵심이다

한 변이 2인 정사각형을 한 변이 1인 작은 정사각형 네 개로 나누고 점 5개를 놓으면, 적어도 한 작은 정사각형에 두 점이 배정됩니다. 작은 정사각형 안 두 점의 거리는 그 대각선 길이인 √2를 넘지 않으므로 거리 √2 이하인 두 점의 존재를 보장합니다.

엄밀성 점검: 강의자료는 ‘√2보다 작다’고 서술하지만 이 분할 논증만으로는 ‘√2 이하’가 정확합니다. 두 점이 작은 정사각형의 마주 보는 꼭짓점에 놓이면 거리가 정확히 √2일 수 있습니다. 실제로 큰 정사각형의 네 꼭짓점과 중심에 점을 두면 가장 가까운 거리도 √2이므로, 별도 조건 없이 ‘반드시 √2 미만’이라는 명제는 성립하지 않습니다.

비둘기집 문제를 풀 때는 물체, 상자, 한 상자에 보장할 개수의 세 항목을 먼저 대응시킵니다. 기하 문제라면 공간을 어떤 구역으로 나눠야 같은 구역 안의 두 대상이 원하는 거리 조건을 만족하는지까지 설계해야 합니다.

처음 보는 계수 문제의 판정 순서

1. 한 결과가 여러 단계를 모두 거치면 곱하고, 여러 대안 중 하나라면 합합니다.
2. 대안이 겹치면 교집합을 한 번 빼 포함배제로 고칩니다.
3. 선택 순서가 결과를 바꾸면 순열, 바꾸지 않으면 조합을 사용합니다.
4. 재선택 허용, 같은 원소의 존재, 원형 배치 여부를 따로 점검합니다.
5. 확률은 동일가능성을 확인한 뒤 유리한 경우를 전체 경우로 나눕니다.
6. 점화식은 초기조건까지 펼친 뒤 원래 식과 초기값에 대입해 검산합니다.
7. 비둘기집 원리는 물체와 상자를 정하고 올림값 ⌈N/k⌉이 무엇을 보장하는지 문장으로 해석합니다.

핵심 개념 정리

• 곱은 연속 단계, 합은 대안 선택에 쓰며 대안이 겹치면 포함배제로 중복을 제거합니다.
• 순열과 조합의 결정적 차이는 순서이며, 재선택 허용과 같은 원소의 배열은 서로 다른 중복 상황입니다.
• 이항계수 C(n,k)는 n개의 괄호에서 y를 택할 k개를 고르는 경우의 수입니다.
• 조건부확률은 B를 새 표본공간으로 삼아 P(A∩B)를 P(B)로 나눕니다.
• 점화식은 초기조건과 함께 일반항을 결정하며, 비둘기집 원리는 ⌈N/k⌉ 이상의 집중이 존재함을 보장합니다.

계산을 시작하기 전에 결과 하나가 만들어지는 과정을 말로 설명하십시오. 단계인지 대안인지, 순서와 중복이 결과를 바꾸는지, 사건이 겹치는지를 판정하면 공식은 자연스럽게 좁혀집니다. 그다음 작은 수로 직접 세기, 확률 범위 확인, 점화식 재대입, 비둘기집의 모순 가정처럼 다른 방식으로 검산하면 조건 누락과 중복 계산을 함께 막을 수 있습니다.

예상문제 10선

1. 음료 4종 중 하나와 디저트 3종 중 하나를 함께 고르는 방법의 수는?

① 7 ② 4 ③ 3 ④ 12

정답입니다.

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정답: ④

• ① 오답: 4+3은 둘 중 하나만 고르는 대안 상황에 해당합니다.
• ② 오답: 음료 선택만 세고 각 음료마다 가능한 디저트를 반영하지 않았습니다.
• ③ 오답: 디저트 선택만 세어 첫 단계를 누락했습니다.
• ④ 정답: 두 선택을 모두 거치므로 곱의 법칙에 따라 4×3=12입니다.

2. 8비트 문자열 중 ‘100’으로 시작하거나 ‘100’으로 끝나는 문자열의 수는?

① 60 ② 64 ③ 32 ④ 4

정답입니다.

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정답: ①

• ① 정답: 각 조건은 32개이고 두 조건을 모두 만족하는 4개를 한 번 빼서 32+32−4=60입니다.
• ② 오답: 교집합 네 문자열을 두 번 센 값입니다.
• ③ 오답: 시작 조건과 끝 조건 중 한쪽만 센 값입니다.
• ④ 오답: 두 조건의 교집합만 센 값이지 합집합의 크기가 아닙니다.

3. 7명 중 반장과 부반장을 한 명씩 정하는 경우와 위원 2명을 정하는 경우의 수를 차례로 옳게 나타낸 것은?

① C(7,2), P(7,2) ② 7², C(7,2) ③ P(7,2)=42, C(7,2)=21 ④ P(7,2)=42, P(7,2)=42

정답입니다.

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정답: ③

• ① 오답: 역할이 다른 첫 상황과 역할이 없는 둘째 상황의 공식을 뒤바꿨습니다.
• ② 오답: 7²은 같은 사람을 두 역할에 중복 배정하는 경우까지 포함합니다.
• ③ 정답: 반장·부반장은 순서가 구별되고 위원 둘은 선택 순서가 결과를 바꾸지 않습니다.
• ④ 오답: 위원 두 명은 뽑힌 집합만 같으면 같은 결과이므로 2!로 나누어야 합니다.

4. 다섯 종류의 기호로 중복을 허용해 길이 3인 문자열을 만드는 경우의 수는?

① 15 ② 125 ③ 60 ④ 10

정답입니다.

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정답: ②

• ① 오답: 5×3은 각 자리의 독립적인 다섯 선택을 표현하지 못합니다.
• ② 정답: 세 자리마다 다섯 기호를 다시 쓸 수 있으므로 5³=125입니다.
• ③ 오답: P(5,3)=60은 기호의 중복 사용을 금지한 경우입니다.
• ④ 오답: C(5,3)=10은 순서를 무시하고 세 종류를 고르는 경우입니다.

5. (x+y)⁹에서 x⁶y³의 계수는?

① 27 ② 56 ③ 72 ④ 84

정답입니다.

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정답: ④

• ① 오답: 지수 3을 단순히 제곱한 값으로 이항계수를 계산할 수 없습니다.
• ② 오답: C(8,3)의 값으로 전체 괄호 수 9를 하나 적게 사용했습니다.
• ③ 오답: 9×8만 계산하고 3개를 고르는 조합의 나눗셈을 반영하지 않았습니다.
• ④ 정답: 아홉 괄호 중 y를 선택할 세 곳을 고르므로 C(9,3)=84입니다.

6. P(A|B)=0.1/0.3을 계산한 뒤 ‘0.33%’라고 쓴 풀이의 오류는?

① 교집합 대신 합집합을 분자로 써야 한다. ② 0.1/0.3은 약 0.333이므로 백분율은 약 33.3%이다. ③ 조건부확률은 P(B)/P(A∩B)로 계산해야 한다. ④ 확률은 백분율로 나타낼 수 없으므로 1/3만 허용된다.

정답입니다.

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정답: ②

• ① 오답: A와 B가 함께 일어나는 교집합이 조건 B 안의 유리한 부분입니다.
• ② 정답: 소수를 백분율로 바꿀 때 100을 곱해야 하므로 0.333은 33.3%입니다.
• ③ 오답: 조건이 된 사건 B가 새 표본공간이므로 P(B)가 분모입니다.
• ④ 오답: 확률은 분수, 소수와 백분율로 모두 표현할 수 있습니다.

7. c_n=2c_n−1+1, c₁=1을 펼쳤을 때 옳은 일반항과 검산은?

① c_n=2ⁿ−1이고, 원래 식과 n=1 초기값을 모두 만족한다. ② c_n=2n−1이고, 차이가 항상 2이므로 성립한다. ③ c_n=2ⁿ이고, 상수 1은 반복할 때 사라진다. ④ c_n=2ⁿ⁻¹−1이고, c₁=0이 된다.

정답입니다.

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정답: ①

• ① 정답: 반복 대입의 등비합을 합치면 2ⁿ−1이며 대입 검산과 초기값 검사를 모두 통과합니다.
• ② 오답: 이 수열은 이전 항을 두 배 하므로 일정한 차이를 갖는 등차수열이 아닙니다.
• ③ 오답: 매 단계 더해지는 1이 등비합을 이루므로 사라지지 않습니다.
• ④ 오답: 스스로 적은 것처럼 초기조건 c₁=1을 만족하지 않아 해가 될 수 없습니다.

8. 25개의 물체를 6개의 상자에 넣을 때 비둘기집 원리가 보장하는 것은?

① 모든 상자에 정확히 4개씩 들어간다. ② 적어도 한 상자에는 4개 이상 들어간다. ③ 적어도 한 상자에는 5개 이상 들어간다. ④ 정확히 한 상자에만 5개가 들어간다.

정답입니다.

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정답: ③

• ① 오답: 상자마다 4개면 총 24개이므로 물체 하나가 남습니다.
• ② 오답: 참이지만 원리가 주는 최선의 보장 ⌈25/6⌉=5보다 약한 진술입니다.
• ③ 정답: 모든 상자에 4개 이하만 넣을 수 없으므로 적어도 한 상자에는 5개 이상이 들어갑니다.
• ④ 오답: 원리는 그런 상자의 존재만 보장하며 개수가 정확히 하나인지는 정하지 않습니다.

9. 한 변이 2인 정사각형을 네 개의 1×1 정사각형으로 나눠 점 5개에 비둘기집 원리를 적용한 결론으로 가장 엄밀한 것은?

① 두 점의 거리가 반드시 1보다 작다. ② 같은 작은 정사각형에 속한 두 점의 거리는 √2 이하이다. ③ 모든 두 점의 거리가 √2보다 작다. ④ 각 작은 정사각형에 점이 정확히 하나씩 들어간다.

정답입니다.

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정답: ②

• ① 오답: 같은 1×1 정사각형 안에서도 두 점의 거리는 1보다 클 수 있습니다.
• ② 정답: 같은 칸의 최대 거리는 대각선 √2이며, 마주 보는 꼭짓점이면 등호가 성립할 수 있습니다.
• ③ 오답: 원리는 적어도 한 쌍의 존재만 보장하며 모든 점쌍에 대한 결론이 아닙니다.
• ④ 오답: 점이 5개이고 칸이 4개이므로 오히려 적어도 한 칸에는 두 점이 배정됩니다.

10. ‘10명 중 발표자 3명을 뽑아 발표 순서까지 정한다’는 문제의 풀이 선택으로 옳은 것은?

① 순서를 무시하므로 C(10,3)=120이다. ② 같은 사람이 여러 번 발표할 수 있으므로 10³=1000이다. ③ 원형 배치이므로 (10−1)!을 사용한다. ④ 중복 없이 세 명을 순서 있게 정하므로 P(10,3)=720이다.

정답입니다.

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정답: ④

• ① 오답: 발표 순서가 달라지면 다른 결과이므로 조합으로는 순서 차이를 세지 못합니다.
• ② 오답: 사람을 뽑는 문맥에서는 한 사람이 세 발표 순서를 중복해 차지한다고 주어지지 않았습니다.
• ③ 오답: 발표 순서는 시작과 끝이 있는 직선 순서이며 회전 동치가 없습니다.
• ④ 정답: 첫째·둘째·셋째 발표자가 구별되고 중복은 없으므로 10×9×8=720입니다.

참고 자료와 작성 기준

이 글은 해당 차시 강의자료를 바탕으로 학습 목적에 맞게 재구성한 비공식 학습자료입니다. 공식 선택 기준, 단계별 계산, 수치 및 명제의 엄밀성 검토와 선택지별 해설은 학습자의 이해를 돕도록 구성하고 검토했습니다.

• 작성·편집: 올에이클래스 학습연구팀
• 주요 근거: 한국방송통신대학교 컴퓨터과학과, 이산수학 제12강 「조합이론」 강의자료(2021)
• 자료 범위: 기본 계수 법칙, 순열과 조합, 이항정리, 이산확률, 점화식, 비둘기집 원리
• 편집 원칙: 올에이클래스 편집 정책
• 최종 내용 검토: 2026-09-06